? ? ? T 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。 N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量。 B 是 T 和 N 的外积。 弗莱纳公式如下：
其中d/ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，η 为曲线的挠率。弗莱纳公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。 弗莱纳公式 平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。 记r(t) 为欧式空间R3中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗莱纳公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。 记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：
由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。
对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗莱纳标架 (或弗莱纳基底)定义如下：
? 单位切向量 T：
?
主法向量 N：
?
副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：
螺旋线上弗莱纳标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑丝的箭头表示副法向量。
由于 所以 N 与 T 垂直。
方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。 弗莱纳公式如下：
其中 κ 为曲线的曲率，η 为曲线的挠率。 弗莱纳公式有时也被称作弗莱纳定理，并且可以写做矩阵的形式：[1]
其中的矩阵是反对称矩阵。
对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。
拉普拉斯展开
在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n 个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n 行 n 列，它的拉普拉斯展开一共有 2n 种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。
公式
设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij 是指B的（i，j）余子式Mij与(?1)i + j的乘积：Cij = (?1)i + j Mij 拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：
例子
考虑以下的矩阵：
这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：
也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：
很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。
证明 设B是一个n × n的矩阵，i、j ∈ {1, 2, ..., n}。为了明确起见，将
，其中1 ≤ s,t ≤ n ? 1. 考虑B的行列式|B|中的每个含有
的项，它的形式为：
的系数记为
其中的置换 η ∈ Sn使得η(i) = j，而ζ ∈ Sn-1 是唯一的将除了 i 以外的其他元素都映射到与 η 相同的像上去的置换。显然，每个 η 都对应着唯一的 ζ，每一个 ζ 也对应着唯一的 η。因此我们创建了Sn ? 1与{η ∈ Sn : η(i) = j}之间的一个双射。 置换 η 可以经过如下方式从 ζ 得到： 定义 ζ' ∈ Sn 使得对于 1 ≤ k ≤ n ? 1，ζ'(k) = ζ(k) 并且 ζ'(n) = n，于是 sgn ζ' = sgn ζ 。然后
由于两个轮换分别可以被写成 n ? i 和 n ? j 个对换，因此
因此映射 ζ ? η 是双射。由此，
从而拉普拉斯展开成立。
拉普拉斯定理 拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。
斯托克斯公式
斯托克斯定理（英文：Stokes theorem）是微分几何中，关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了几个向量微积分的定理。它以斯托克斯爵士命名 ?3?上的斯托克斯公式 设?Γ?为分段光滑的空间有向闭曲线，S?是以为边界的分片光滑的有向曲面，Γ?的正向与?S?的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面?S（连同边界?Γ）上具有一阶连续偏导数，则有
旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。
这个公式叫做??3?上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：
它在欧氏3维空间上的向量场的旋度的曲面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系，这是一般的斯托克斯公式（在?n=2?时）的特例，我们只需用欧氏3维空间上的度量把向量场看作等价的1形式。 该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森 (开尔文勋爵)给出，出现在他给斯托克斯的信中。 类似的，高斯散度定理