第五章 频域分析法
时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
5.1 频率特性
对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号
u(t)?Usin? t (5—1)
则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即
y(t)?Ysin(? t?? ) (5—2)
u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。
不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式
G(s)?Y(s)U(s)?B(s)(s?p1)(s?p2)?(s?pn)?B(s)n?pj)B(s)A(s) (5—3)
?(s?j?1 式中B(s)——传递函数G(s)的m阶分子多项式，s为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n阶分母多项式 (n≥m)；
?p1,?p2,?,?pn—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。
由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)
U(s)?U?s??22?U?(s?j?)(s?j?) （5—4）
输出信号y(t)的拉氏变换为
Y(s)＝U(s)G(s)
将式(5—3)、式（5—4)代人上式得
Y(s)?U?(s?j?)(s?j?)?B(s)n
pj)?(s?j?1 上式可改写成(利用部分分式法)
Y(s)?a1s?j??a2s?j??b1s?p1?b2s?p2???bns?pn (5-5)
上式中 a1,a2,b1,b2,?,bn—待定系数，它们均可用留数定理求出。其中a1和a2 是共扼复数。 将式 (5—5)两边取拉氏反变换，可得
y(t)?a1e?j? t?a2ej? t?b1e?p1 t?b2e?p 2t???bne?pn t (t?0) (5—6)
对于稳定的系统，由于极点?p1,?p2,?,?pn都具有负实部，所以当t→∞时，
e?p1 t,e?p2 t,?,e?pn t都将衰减到零。这时输出信号y(t)只由式(5—6)中的第一项和第二项
决定，即稳态输出y (∞)为
y(?)?a1e?j? t?a2ej? t (5—7)
式(5—7)中的待定系数a1和a2可分别由留数定理求得
?G(?j?)s? ?j??(s?j?)(s?j?)2j?? （5—8）
U?U?a2?G(s)(s?j?)s?j??G(j?)?(s?j?)(s?j?)2j?a1?G(s)(s?j?)??U?U 上式中 G(jω)和G(-jω)都是复数，可以用极坐标形式表示为
G(j?)?G(j?)ej?G(j?)j G(?j?)G(?j?)?G(?j?)e??? （5—9） ?j?G(j?)?G(j?)e?? 将式(5—8)、式(5—9)代入式(5—7)得 y(?)??U2jG(j?)e12j?j?G(?j ?)e?j ? t?U2jG(j ?)ej?G(j ?)ej ? t ?UG(j ?)?ej(? t??G(J ?))?e?j(? t??G(j ?))? (5-10)
?UG(j ?)sin?? t??G(j ?)? ?Ysin(? t??) 式中 Y?UG(j ?) , ???G(j ?)
式(5-10)表明，线性定常系统在正弦输人信号u(t)?Usin? t的作用下，稳态输出信号y (∞)仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号y (∞)的振幅Y是输入信号振幅U的G(j?)倍，相位移为???G(j ?)，且都是角频率ω的函数。相位移?为正时，表示输出信号y (∞)的相位超前输人信号u(t)的相位；相位移?为负时，表示输出信号y (∞)的相位迟后输入信号u(t)的相位。
如果改变输入信号u(t)的频率ω，则G(j?)和?G(j ?)也随之改变。线性定常系统在正弦输入时，稳态输出y (∞)与输入u(t)的振幅比
YU?G(j ?)和相位移???G(j ?)随频率ω而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性。并分别用M(ω)和? (ω)表示，即
M(?)?G(j ?)?(?)??G(j ?) M(?)和?(?)合起来称为系统的频率特性。
由式(5-9)可知，G(j?)和?G(j ?)可以由G(jω)来统一表示，即
G(j ?)?G(j ?)ej?G(j?)?M(?)ej?(?) (5-11)
G(j ?)还可以用直角坐标形式来表示
G(j ?)?R(?)?jI(?)
式中 R(?)—G(j ?)的实部，它也是ω的函数，称为实频特性；
I(?—G(j ?)的虚部，同样也是ω的函数，称为虚频特性。
从上分析可知，若将传递函数中的s以j ?代替，就得到频率特性。即：
G(j?)?G(s)s?j?，可以证明，这个结论对于结构稳定的线性定常系统(或环节)都是成立
的。所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用j ?置换其中的s，就可以得到该系统(或环节)的频率特性。
反过来看，如果能用实验方法获得系统(或元部件)的频率特性，又给确定系统(或元部件)的传递函数提供了依据。
系统频率特性的表示方法很多，其本质上都是一样的，只是表示形式不同而已。工程上用频率法研究控制系统时，主要采用的是图解法。因为图解法可方便、迅速地获得问题的近似解。每一种图解法都是基于某一形式的坐标图表示法。频率特性图示方法是描述频率?从
0??变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线，由于采用的坐标系不同
可分为两类图示法或常用的三种曲线：即极坐标图示法和对数坐标图示法或幅相频率特性曲
线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线。 一、幅相频率特性(奈氏图)
由以上的介绍可知，若已知系统的传递函数G(s)，那么令s?j ?，立即可得频率特性为G(j ?)。显然，G(j ?)是以频率ω为自变量的一个复变量，该复变量可用复平面[s]上的一个矢量来表示。矢量的长度为G(j ?)的幅值G(j?)；矢量与正实轴间夹角为那么当频率ω从0变化到∞时，系统或元件的频率特性的值也在G(j ?)的相角?G(j ?)。
不断变化，即G(j ?)这个矢量亦在[s]平面上变化，于是G(j ?)这个矢量的矢端在[s]平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，或称作奈奎斯特图(Nyquist)。 二、对数频率特性(伯德图)
由上面的介绍可知，幅相频率特性是一个以ω为参变量的图形，在定量分析时有一定的不便之处。因此，在工程上，常常将M(?)和?(?)分别表示在两个图上，且由于这两个图在刻度上的特点，被称作对数幅频特性图和对数相频特性图。 1．对数幅频特性
为研究问题方便起见，常常将幅频特性M(?)用增益L(?)来表示，其关系为：
L(?)?20lgM(?) (5—12)
在图形中，纵轴按线性刻度，标以增益值；横轴按对数刻度，标以频率ω值，称作对数幅频特性。
2．对数相频特性
该图纵轴按均匀刻度，标以?(?)值，单位为度；横轴刻度与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，称作对数相频特性。
对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图（Bode） 三、对数幅相频率特性(尼柯尔斯图)
将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以?(?)（度）为线性分度的横轴，以L(?)?20lgM(?)（db）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的G(j?)曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols）。本章只介绍奈奎斯特图和伯德图。
5.2 幅相频率特性（Nyquist图）
5.2.1 基本概念
由于频率特性G(jω)是复数，所以可以把它看成是复平面中的矢量。当频率ω为某一定值ωl时，频率特性G(jωl)可以用极坐标的形式表示为相角为?G(j?1)(相角?G(j ?)的符号定义为从正实轴开始，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)，幅值为G(j?1)的矢量
OA，如图5—1(a)所示。与矢量OA对应的数学表达式为
G(j ?1)?G(j ?1)ej?G(j?1)
当频率ω从零连续变化至∞(或从-∞→0→∞)时，矢量端点A的位置也随之连续变化并形成轨迹曲线。如图5—1(a)中G(jω)曲线所示。由这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图，又称为G(jω)的幅相频率特性。 如果G(jωl)以直角坐标形式表示，即
G(j ?1)?R(?1)?jI(?1)
如图5—1(b)所示的矢量OA。同样，在直角坐标图5—1(b)上也可以作出ω从0变化到∞的G(jω)轨迹曲线。
图5—1 频率特性G(jω)的图示法
（a）G(jω)的极坐标图示法；（b）G(jω)的直角坐标图示法
5.2.2 典型环节的幅相特性曲线
由第二章已知，一个控制系统可由若干个典型环节所组成。要用频率特性的极坐标图示
法分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节的幅相特性曲线。 1．比例环节
比例环节的传递函数为
G(s)＝K
所以比例环节的频率特性为
G(jω)＝K十j0＝Kej0 (5—13)