5.3.4 最小相位系统和非最小相位系统
如果系统的开环传递函数在右半s平面上没有极点和零点，则称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。例如，具有下列开环传递函数的系统是最小相位系统
G1(s)? (K,T1,T2,T3均为正数)
(T1s?1)(T2s?1）K(T3s?1) 开环传递函数在右半s平面上有一个(或多个) 极点和零点，称为非最小相位传递函数(若开环传递函数有一个或多个极点位于右半s平面，这意味着开环不稳定)。具有非最小相位传递函数的系统称为非最小相位系统。例如，具有下列开环传递函数的系统为非最小相位系统
G2(s)? (K,T1,T2,T3均为正数)
(T1s?1)(T2s?1）e(T1s?1)(T2s?1）K??sK(T3s?1) G3(s)? (K,T1,T2,?均为正数)
G1(s)和G2(s)都具有相同的幅频特性，即幅频特性都是
M(?)?K1?T3?2222(1?T1?)(1?T?)222
但它们的相频特性却大大不同；设G1(s)和G2(s)的相频特性分别为?1(?)和?2(?)， 则
?1(?)?tg?2(?)?tg0?1(T3?)?tg(T3??1)?tg?1(T1?)?tg(T1?)?tg?1(T2?)(T2?)?1?1?1
当?＝0时 ?1(?)?0,?2(?)?180 当?→∞时
0?1(?)?90?90?90?2(?)?90?90?90000000??90??9000
对于最小相位系统G1(s)来说，当?从0→∞时的相角变化为
?1(?)??1(0)??90?000?90
0 对于非最小相位系统G2(s)来说，当?从0→∞时的相角变化为
?2(?)??2(0)??90?180显然，最小相位系统的相角变化为最小。
00?270
0对控制系统来说，相位纯滞后越大，对系统的稳定性越不利，因此要尽量减小延迟环节的影响和尽可能避免有非最小相位特性的元件。
5.4 奈奎斯特稳定判据及稳定裕度
5.4.1奈奎斯特稳定性判据的基本原理
奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环奈氏曲线，判断闭环系统稳定性的一个判别准则，简称奈氏判据。
奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定性，而且还能够指出闭环系统的相对稳定性，并可进一步提出改善闭环系统动态响应的方法。因此，奈氏稳定性判据在经典控制理论中占有十分重要的地位，在控制工程中得到了广泛的应用。奈氏判据的理论基础是复变函数理论中的幅角原理，下面介绍基于幅角原理建立起来的奈奎斯特稳定性判据的基本原理。 1．特征函数F(s)＝1+G(s)H(s)和F平面 设负反馈控制系统的闭环传递函数为
Y(s)U(s)?G(s)1?G(s)H(s) (5-31)
将上式等号右边的分母1+G(s)H(s)定义为特征函数F(s)，即令
F(s)?1?G(s)H(s) (5—32)
令F(s)＝0，即
F(s)?1?G(s)H(s)?0 (5—33)
上式即为闭环系统的特征方程。
式(5—31)、式(5—32)、式(5—33)中的G(s)H(s)是反馈控制系统的开环传递函数，设
G(s)H(s)?B(s)A(s) (5—34)
式中 A(s)——s的n阶多项式； B(s)——s的m阶多项式。 则特征函数F(s)可以写成
nF(s)?1?G(s)H(s)?1?B(s)A(s)?A(s)?B(s)A(s)K?(s?zi)?i?1n (5-35)
pj)?(s?j?1 上式中 ?pj——F(s)的极点(j＝1，2，…，n)； ?zi——F(s)的零点(i＝1，2，…，n)。
由式(5—35)可知，F(s)的分母和分子均为s的n阶多项式，也就是说，特征函数F(s)的零点和极点的个数是相等的。
对照式(5—31)、式(5—34)、式(5—35)三式可以看出，特征函数F(s)的极点就是系统开环传递函数的极点，特征函数F(s)的零点则是系统闭环传递函数的极点。因此根据前述闭环系统稳定的条件，要使闭环控制系统稳定，特征函数F(s)的全部零点都必须位于s平面的左半部分。
不同的s值对应不同的特征函数F(s)的值。特征函数F(s)的值是一个复数，可以用复平面上的点来表示。用来表示特征函数F(s)的复平面称为F平面，如图5—20(b)所示。从图5—20可以看出，在s平面上的点或曲线，只要不是或不通过F(s)的极点[如是，则F(s)为∞]，就可以根据式(5—35)求出对应的F(s)，并映射到F平面上去，所得的图形也是点或曲线。
图5—20 从s平面到F平面的映射关系(保角变换)
(a) s平面；(b)F平面
2．幅角原理和公式N＝P-Z
在图5—20(a)的s平面上任取一条封闭曲线C，并规定封闭曲线C不通过F(s)的任何零点和极点，但包围了F(s)的Z个零点和P个极点[如图5—15(a)的?zi(i＝1,2，…，Z) 和?pj (j＝1，2，…，P)，图5—20(a)中的?zi和?pj是不被封闭曲线C包围的F(s)的n-Z个零点和n-P个极点，则曲线C在F平面上的映射是一条不通过坐标原点的封闭曲线，我们用C?来表示，如图5—20(b)所示。
当s平面上的变点s(见图5—20(a))从封闭曲线C上的任一点(设为A点)出发，沿曲线
I按顺时针方向移动一圈时，矢量s?zi和s?pj的幅值和相角都要发生变化。F平面上对应
I????的映射点F(s)也将从某一B点出发[见图5—20(b)]按某种方向沿封闭曲线C?移动并最终又回到B点。F平面上的映射曲线——封闭曲线C?按什么方向(顺时针还是逆时针方向)包围坐标原点，以及包围原点的次数是多少?这是下面要研究的问题。
在F平面上，从原点到曲线C?上的点B作矢量F(s)，如图5—15(b)所示，则上述问题可根据幅角原理对下列F(s)的表达式进行计算而得到解答
ZK?(s?zi)?(s?zi)F(s)?i?1Pi?Z?1?n?n? (5—36)
??j?1(s?pj)?(s?pj)j?P?1由上式可求得矢量F(s)的幅角是
Z /F(s)??/s?zi?1?in??/s?zi?Z?1?iP??/s?j?1pj??n?j?P?1/s?pj? (5—37)
当变点s在s平面上沿封闭曲线C顺时针方向移动一圈时，被曲线C包围的每个零点
?zi和每个极点?pj到变点s的矢量s?zi和s?pj的幅角改变量均为360(顺时针改变
I?II0
的角度为正)，而所有其他不被曲线c包围的零点?zi和极点?pj的矢量s?zis?pj????和
的幅角改变量均为00，所以矢量F(s)的幅角改变量为
Z?/F(s)??i?1/s?zi??P?j?1/s?pj?Z(360)?P(360)?(Z?P)?360 (5—38)
?000式中 P——被封闭曲线C包围的特征函数F(s)的极点数； Z——被封闭曲线C包围的特征函数F(s)的零点数。
矢量F(s)的幅角每改变3600(或-3600)，表示矢量F(s)的端点沿封闭曲线C?按顺时针方向(或逆时针方向)环绕坐标原点一圈。而式(5—38)表明，当s平面上的变点s沿符合前述条件的封闭曲线C按顺时针方向绕行一圈时，F平面上对应的封闭曲线C?将按顺时针方向包围原点(Z-P)次。这就是上面提到的要研究的问题的解答，这一重要性质可概括为如下的公式
N＝Z—P (5—39)
式中 N——F平面上封闭曲线C?包围原点的次数；
P——s平面上被封闭曲线C包围的F(s)的极点数； Z——s平面上被封闭曲线C包围的F(s)的零点数。 当N＞0时，表示F(s)端点按顺时针方向包围坐标原点； 当N＜0时，表示F(s)端点按逆时针方向包围坐标原点；
当N＝0时，是F(s)端点的轨迹不包围坐标原点的情况。
例如图5—21表示了F平面上的一些封闭曲线。其中图5—21(a)的N＝-2，即F(s)的端点轨迹包围了原点两次，图5—21(b)和图5—21(c)的N都是零。表示F(s)的端点轨迹没有包围坐标原点。
式(5—39)也可改写成
Z＝P+N (5—40)
上式表明，当已知特征函数F(s)的极点[也即已知开环传递函数G(s)H(s)的极点]在s 平面上被封闭曲线C包围的个数P及已知矢量F(s)在F平面上包围坐标原点的次数N，即可求得特征函数F(s)的零点(也即闭环传递函数的极点)在s平面被封闭曲线C包围的个数。式(5—40)是奈氏判据的重要理论基础。
图5—21 F平面上F(s)端点形成的封闭曲线
(a)N＝-2；(b)N＝0 ;(c)N＝0
3．奈氏轨迹及其映射
为了使特征函数F(s)在s平面上的零、极点分布及在F平面上的映射情况与控制系统稳定性分析联系起来，必须适当选择s平面上的封闭曲线C。为此，我们选择这样的封闭曲线C：使封闭曲线C包围整个右半s平面。因此式(5—40)中的P值就是位于右半s平面上的开环传递函数的极点个数，而由式(5—40)计算得到的Z值就是位于右半s平面上的闭环传递函数的极点个数，对于稳定的控制系统来说，显然Z值应等于零。
包围整个右半s平面的封闭曲线如图5—17所示，它是由整个虚轴和半径为∞的右半圆组成。变点s按顺时针方向移动一圈，这样的封闭曲线称为奈奎斯特轨迹。
奈奎斯特轨迹在F平面上的映射也是一条封闭曲线，如图5—23所示。对图5—22的整个虚轴，因为s＝jω，所以变点在整个虚轴上的移动相当于频率ω从-∞变化到+∞，它在F平面上的映射就是曲线F(jω)( ω从-∞→+∞)。对于不同的开环传递函数G(s)H(s)及其开环频率特性G(jω)H(jω)，就有不同的 F(jω)曲线[F(jω)＝l十G(jω)H(jω)]。在图5—23中，对应ω＝0→∞的曲线用实线表示，对应于ω＝-∞→0的曲线以虚线表示，它们对实轴是对称的。对于图5—22 s平面上半径为∞的右半圆，映射到F平面上的特征函数F(s)为
F(∞)＝l十G(∞)H(∞) (5—41)
图5—22 s平面的奈奎斯特轨迹 图5—23 F平面的奈奎斯特曲线[F(jω)曲线]
因为一般开环传递函数G(s)H(s)的分子阶数m小于分母阶数n(即m?n)，所以 G(∞)H(∞)常为零或常数,所以F(∞)＝1或常数。这表明，s平面上半径为∞的右半圆，包括虚轴上坐标为j∞和-j∞的点，它们在F平面上的映射都是同一个点，即如图5—23上的点D。
综上所述，判别闭环系统是否稳定的方法可以这样来描述：s平面上的奈氏轨迹在F平 面上的映射F(jω)，当ω从-∞变到+∞时，若逆时针包围坐标原点的次数N等于位于右半s