表5-1 ω为不同数值时，M(?)和?(?)的值
ω M(?) 0 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 8.9 7.03 4.4 3.04 2.26 1.76 1.4 1.15 0.97 0.83 0.71 00 29.40 50.70 74.70 88.20 97.70 105.20 111.50 116.80 121.50 125.50 129.30 ?(?) 根据上表的数据就可绘出例5-1的奈氏图，如图5-8所示。
图5-8 例5-1的奈氏图
如第三章所述，根据开环系统传递函数中积分环节的数目v的不同(v＝0，l，2…)，控制系统可以分为0型系统、Ⅰ型系统、Ⅱ型系统、Ⅲ型系统……等等。下面将分别给出0
型系统、Ⅰ型系统和Ⅱ型系统的开环频率特性极坐标图。这些典型系统的奈氏图的特性将有助于以后用奈氏图方法分析和设计控制系统。 1．0型系统的开环奈氏曲线
0型系统的开环传递函数为
mK?(?is?1)G(s)H(s)?i?1n (m?n)
k?(Tk?1s?1) 其频率特性为
mK?(j??G(j?)H(j?)?i?1ni?1) ?M(?)ej?(?) (5-20)
?(j?Tk?1k?1) 式中
m?2K1?(??)?i?i?1?M(?)?n?2 (5—21) ?1?(Tk?)?k?1?mn??1?1??(?)??tg?i???tgTk?i?1k?1? 由式(5-21)，当ω＝0时，M(0)＝K，φ(0)＝00。当ω→∞时，由于m＜n，所以M(∞)
＝0，为坐标原点，为了确定奈氏曲线以什么角度进入坐标原点，就要确定ω→∞时的相角φ(∞)，由式(5—20)、式(5-21)可知，当ω→∞时，分子、分母中每一个因子的相角都是900，故φ(∞)为
?(?)?m?90?n?9000?(m?n)9000?(n?m)(?90)
例如，设0型系统的开环频率特性为
G(j?)H(j?)?K(j?T1?1)(j?T2?1)
式中：n＝2，m＝0，所以
00?(?)?(2?0)(?90)??180
即奈氏曲线将从-180进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与负实轴相切。如图5—9所示的曲线a。又如，设0型系统的开环频率特性为
G(j?)H(j?)?K(j?T1?1)(j?T2?1)(j?T3?1)0
式中： n＝3，m＝0，所以
00?(?)?(3?0)(?90)??270
即奈氏曲线将从-2700进入坐标原点，也即奈氏曲线在原点处与正虚轴相切。如图5—9所示的曲线b。
图5-9 0型系统的奈氏图
2．Ⅰ型系统的开环奈氏曲线 l型系统的开环传递函数为
mK?(?is?1)G(s)H(s)?i?1n?1 (m?n)
s?(Tks?1)k?1其频率特性为
mK?(j??i?1) ?M(?)ej?(?) G(j?)H(j?)?i?1n?1 (5—22)
j??(j?Tk?1)k?1 式中
?2K1?(??)?i??M(?)??2?1?(Tk?)??m?1??(?)??900?tg?i????i?1? (5—23)
n?1?tgk?1?1Tk?0
由式(5—23)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝—90，故Ⅰ型系统的奈氏曲线的
起点是在相角为—900的无限远处。当ω→∞时，因m ＜n，所以M(∞)＝0，也为坐标原点。由式(5—23)还可知，φ(∞)＝(n-m)(-90)，与0型系统类似。当n-m＝2时，φ(∞)＝-180，奈氏曲线从-180进入坐标原点，在原点处与负实轴相切，如图5—10所示曲线a。当n-m＝3时，φ(∞)＝—270，奈氏曲线从-270进入坐标原点，在原点处与正虚轴相切，如图
5-10所示曲线b。
0
0
0
0
0
图5-10 Ⅰ型系统的奈氏图
3．Ⅱ型系统的开环奈氏曲线 Ⅱ型系统的开环传递函数为
mK?(?is?1)G(s)H(s)?s2i?1n?2 (m?n)
k?(Tk?1s?1) 其频率特性为
mK?(j??G(j?)H(j?)?(j?)i?1n?22i?1)?M(?)ekj?(?) (5—24)
?(j?Tk?1?1) 式中
m?2K1?(??)?i?i?1?M(?)?n?2?22??1?(Tk?)?k?1?m?0?1??(?)??180??tg?i??i?1? （5-25）
n?2?tgk?1?1Tk?0
由式(5—25)可知，当ω＝0时，M(0)＝∞，φ(0)＝-180，故Ⅱ型系统的奈氏曲线的起
0
点在相角为-180的无限远处，如图5—11所示。当ω→∞时，因m＜n，所以M(∞)＝0，也为坐标原点。由式(5—25)可知，φ(∞)也等于(n-m) (-900)，与0型、Ⅰ型系统相类似。例如，设Ⅱ型系统的开环频率特性为
G(j?)H(j?)?K(j??21?1)(j?)(j?T1?1)
上式中，m＝1，n＝3，所以φ(∞)＝(3—1)(-900)＝-1800，即奈氏曲线在原点处与负实轴相切，如图5—11所示的曲线a。图5—11的曲线b是Ⅱ型系统开环频率特性为
G(j?)H(j?)?0
0
K(j?)(j?T1?1)2的奈氏曲线。这时n-m＝3-0＝3，所以φ(∞)＝（3-0）
(-90)＝-270，所以奈氏曲线b在原点处与正虚轴相切。
图5-11 Ⅱ型系统的奈氏图
5.3 对数频率特性（Bode图）
5.3.1 基本概念
频率特性极坐标图示的奈氏曲线，计算与绘制都比较麻烦。频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式。与极坐标图相比，对数坐标图更为优越，用对数坐标图不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现时间常数等参数变化对系统性能的影响。
频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性G(j?)H(j?)写成
G(j?)H(j?)?M(?)ej?(?) (5—26)
式中M(?)——幅频特性；?(?)——相频特性。
将幅频特性M(?)取以10为底的对数，并乘以20得L(?)，单位为分贝(dB)，即
L(?)?20lgM(?) (dB) (5—27)
在对数相频特性图中，以?(?)为纵坐标，以?为横坐标，横坐标也是以对数分度，纵坐标用等刻度分度。这样，与对数幅频特性一样，也形成一个半对数坐标系。将对数幅频特性L(?)一?和对数相频特性?(?)一?合称为对数频率特性图，又称为伯德图(Bode图)。
5.3.2 典型环节频率特性的伯德图
1. 比例环节 比例环节频率特性为
G(j?)?K
显然，它与频率无关，其对数幅频特性和对数相频特性分别为 L(?)?20lgK?(?)?0?
图5-12 比例环节Bode图 其Bode图如图5-12所示。
2. 微分环节j?
微分环节j?的对数幅频与对数相频特性为
L(?)?20lg? ?(?)?90?
对数幅频曲线在??1处通过0dB线，斜率为20dB/dec；对数相频特性为?90?直线。特性曲线如图5-13①所示。
3. 积分环节1j?
1j? 的对数幅频特性与对数相频特性为
图5-13 微分①、积分② 环节Bode图 积分环节
L(?)??20lg??(?)??90?
积分环节对数幅频曲线在??1处通过0dB线，斜率为?20dB/dec；对数相频特性为
?90直线。特性曲线如图5-13②所示。
?积分环节与微分环节成倒数关系，所以其Bode图关于频率轴对称。 4. 惯性环节(1?j?)
?1