平面上的开环极点个数P，即Z＝P+N＝0[见式(5—40)]，则闭环系统是稳定的，因为Z＝0意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线(奈氏轨迹)包围，也即在右半s平面没有闭环极点，所以闭环系统是稳定的。
上述判别闭环系统稳定性的方法可以进一步简化。由于特征函数F(s)定义为
F(s)＝l十G(s)H(s)
将s＝jω，代入上式得
F(jω)＝1十G(jω)H(jω)
将上式改写成
G(jω)H(jω)＝F(jω)-l
上式表明，F平面上的曲线F(jω)如果整个地向左平移1个单位，便可得到GH平面上的G(jω)H(jω)曲线，这就是系统的奈氏曲线图，如图5—24所示。
由于F(jω)的F平面坐标中的原点在GH平面的坐标中移到了(-l，j0)点，所以判别稳定性方法中的矢量F(jω)包围坐标原点次数N，应改为矢量G(jω)H(jω)包围(-1，j0)点的次数N，因此式(5—40)中的N就是GH平面中矢量G(jω)H(jω)对(-1，j0)点的包围次数。 前面已经说明，为了使闭环系统稳定，特征函数F(s)＝1十G(s)H(s)的零点都应位于s平面的左半部分，也就是说，式(5-40)中的Z应等于零，因此式(5-40)应改变为
-N＝P (5-42)
上式是奈奎斯特稳定性判据的基本出发点。
图5—24 GH平面的奈氏曲线
5.4.2 奈奎斯特稳定性判据
1.奈奎斯特稳定性判据(一)
当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时(例如0型系统)，奈奎斯特稳定性判据可表述为：
(1)当开环系统稳定时，表示开环系统传递函数G(s)H(s)没有极点位于右半s平面，所以式(5-40)中的P＝0，如果相应于ω从-∞→+∞变化时的奈氏曲线G(jω)H((jω)不包围(-1，j0)点，即式(5-40)中的N也等于零，则由式(5—40)可得Z＝0，因此闭环系统是稳定的，否则就是不稳定的。
(2)当开环系统不稳定时，说明系统的开环传递函数G(s)H(s)有一个或一个以上的极点位于s平面的右半部分，所以式(5—40)中的P≠0，如果相应于ω从—∞→+∞变化时的奈氏曲线G(jω)H(jω)逆时针包围(-1，j0)点的次数N，等于开环传递函数G(s)H(s)位于右半s平面上的极点数P，即-N＝P，则由式(5—40)或式(5-42)可知，闭环系统也是稳定的，否则(即N≠p)，闭环系统就是不稳定的。
如果奈奎斯特曲线正好通过(-1，j0)点，这表明特征函数F(s)＝1十G(s)H(s)在s平
面的虚轴上有零点，也即闭环系统有极点在s平面的虚轴上(确切地说，有闭环极点为s平面的坐标原点)，则闭环系统处于稳定的边界，这种情况一般也认为是不稳定的。
为简单起见，奈氏曲线G(jω)H(jω)通常只画ω从0→+∞变化的曲线的正半部分，另外一半曲线以实轴为对称轴。
应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下： (1)绘制开环频率特性G(jω)H(jω)的奈氏图，作图时可先绘出对应于ω从0→+∞的 —段曲线，然后以实轴为对称轴，画出对应于—∞→0的另外一半。
(2)计算奈氏曲线G(jω)H(jω)对点(-1，j0)的包围次数N。为此可从(-l，j0)点向奈 氏曲线G(jω)H(jω)上的点作一矢量，并计算这个矢量当ω从-∞→0→+∞时转过的净角度，并按每转过360°为一次的方法计算N值。
(3)由给定的开环传递函数G(s)H(s)确定位于s平面右半部分的开环极点数P。 (4)应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性。 例5—3 设控制系统的开环传递函数为
G(s)?52(s?2)(s?2s?5)2
试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
解 绘出系统的开环幅相特性曲线如图5-25所示。当??0时，曲线起点在实轴上P(?)?5.2。当???时，终点在原点。当??2.5时曲线和负虚轴相交，交点为?j5.06。当??3时，曲线和负实轴相交，交点为?2.0。见图中实线部分。
在右半s平面上，系统的开环极点数为0。开环频率特性G(j?)随着?从0变化到??时，顺时针方向围绕（?1,j0）点一圈，即N?1,则闭环系统在右半s平面的极点数为
Z?P?2N?0?2?1?2
图5-25 幅相特性曲线
所以闭环系统不稳定。
利用奈氏判据还可以讨论开环增益K对闭环系统稳定性的影响。当K值变化时，幅频特性成比例变化，而相频特性不受影响。因此，就图5-25而论，当频率??3时，曲线与负实轴正好相交在（?2,j0）点，若K缩小一半，取K?26时，曲线恰好通过（?1,j0）点，这是临界稳定状态；当K?26时，幅相曲线G(j?)将从（?1,j0）点的右方穿过负实轴，不再包围（?1,j0）点，这时闭环系统是稳定的。 2．奈奎斯特稳定性判据(二)
如果开环传递函数G(s)在虚轴上有极点，则不能直接应用图5-22所示的奈氏路径，因为幅角定理要求奈氏轨线不能经过F(s)的奇点，为了在这种情况下应用奈氏判据，可以对奈氏路径略作修改。使其沿着半径为无穷小（r?0）的右半圆绕过虚轴上的极点。例如当开环传递函数中有纯积分环节时，s平面原点有极点，相应的奈氏路径可以修改如图5-26
所示。图中的小半圆绕过了位于坐标原点的极点，使奈氏路径避开了极点，又包围了整个右半s平面，前述的奈氏判据结论仍然适用，只是在画幅相曲线时，s取值需要先从j0绕半径无限小的圆弧逆时针转90?到j0?，然后再沿虚轴到j?。这样需要补充s?j0?j0?小圆弧所对应的G(j?)特性曲线。
设系统开环传递函数为
mK?(Tis?1)G(s)?s?i?1n?? (5-43)
j?(Tj?1s?1)式中?为系统型别。当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，位于无限小半圆上的变点s可表示为
s?r ej? (5-44) 映射到G平面的曲线可以按下式求得
mK?(Tis?1)G(s)s?limrer?0j??s?i?1n???limjKr??(Tj?1s?1)s?limrer?0j?r?0e?j????e?j?? (5-45)
由上述分析可见，当s沿小半圆从??0变化到??0?时，?角沿逆时针方向从0变化到?2，这时G平面上的映射曲线将从?G(j0)位置沿半径无穷大的圆弧按顺时针方向转过???2角度。在确定G(j?)绕(?1，j0)点圈数N的值时，要考虑大圆弧的影响。
例5—4 设控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)?10s(s?1)(s?2)
试用奈氏判据二判别其闭环系统的稳定性。
解 该系统为Ⅰ型系统，其增补开环奈氏曲线如图5—26所示，由图可以看出，当ω从-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)增补奈氏曲线顺时针包围(-1，j0)点两次，即N＝2。而开环传递函数没有位于右半s平面上的极点，即P＝0，所以N≠-P，因此，闭环系统是不稳定的。
图5-26 例5—4的增补奈氏曲线
5.4.3 频域法分析系统的相对稳定性
控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。而对一个稳定的系统而言，还有一个稳定的程度，即相对稳定性的概念。相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。在设计一个控制系统时，不仅要求它必须是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度。只有这样，才能不致因系统参数变化而导致系统性能变差甚至不稳定。
对于一个最小相角系统而言，G(j?)曲线越靠近（?1,j0）点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。因此，可用G(j?)曲线对（?1,j0）点的接近程度来表示系统的相对稳定性。通常，这种接近程度是以相位裕量和增益裕量来表示的。
（1） 相位裕量(PhaseMagin——常简写为PM)
设一稳定系统的奈氏曲线[G(j?)H(j?)曲线]与负实轴相交于G点，与单位圆相交于C点，如图5—27所示。C点处的频率?c称为增益穿越频率，又称为剪切频率。?c处的相角?(?c)与-1800(负实轴)的相角差?称为相位裕量PM，即
PM????(?c)?(?180)?18000??(?c) （5-46）
注意，上式中?(?c)本身是负的。
当?＞0时，表示相位裕量是正的；?＜0时，表示相位裕量是负的。为了使闭环系统稳定，要求相位裕量是正的，如图5—27所示。图5—28描述了不稳定系统的奈氏曲线图。从图中可以看出，?(?c)大于1800而本身又为负，所以相位裕量PM(?)为负数，即?＜0，所以闭环系统是不稳定的。
（2）．增益裕量(GainMargin——常简写为GM)
当奈氏曲线与负实轴相交于G点时，如图5—27所示，G点的频率?g称为相位穿越频率，又称为相位交界频率。这时?g处的相角?(?g)??180，幅值为G(j?g)H(j?g)。定义G(j?g)H(j?g) 的倒数为增益裕量GM，并用Kg表示，即
Kg?1G(j?g)H(j?g)0 (5-47)
上式中，?g满足下式
/G(j?g)H(j?g)??180 (5-48)
0当G(j?g)H(j?g)＜1，也即Kg＞1时，闭环系统是稳定的，用Kg(+)表示，如图5—27所示。当G(j?g)H(j?g)＞l，也即Kg＜l，如图5—28所示，闭环系统是不稳
定的，用Kg(-)代表。
图5—27 稳定系统的奈氏曲线 图5-28 不稳定系统的奈氏曲线
5.5 开环频率特性分析系统性能
在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据，不如时域指标来得直接、准确。因此，需进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以伯德图为基点，首先讨论开环对数幅频特性L(?)的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。
实际系统的开环对数幅频特性L(?)一般都符合如图5-29所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。将L(?)人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指截止频率?c附近的频段；高频段指频率远大于?c的频段。低频段反映了系统的稳态性能，中频段反映了系统的动态性
图5-29 对数频率特性三频段的划分 能，控制系统的动态性能是我们最关心的问题，下面将详细介绍中频段与时域性能的关系，高频段则反映了系统抗高频干扰的能力，对系统的动态性能影响不大，将不作深入分析。
需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。一般控制系统的频段范围在0.01~100Hz之间。
5.5.1 L(?)低频渐近线与系统稳态误差的关系
系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近