（∵四边形ABCD是矩形，∴OA=
11AC=OB=BD, 2211AC=OB=BD,（矩形的对角线相等且互相平分） 22又∵E是AB的中点 ∴EF垂直平分AB），你能写出证明过程吗？ 解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=
∵E是AB的中点 ∴EF垂直平分AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）
∴ 点A、B关于直线EF对称，同理：点C、D关于直线EF对称， ∴矩形关于直线EF对称，同理：矩形关于直线MN对称。
（3）得出结论：矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴。
（4）矩形是中心对称图形吗？为什么？(因为矩形是平行四边形，所以矩形也是中心对称图形) 。
结论： 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 2 矩形的两条对称轴把矩形分成的四个小矩形的关系.
观察：矩形的对称轴把矩形分成了四个小矩形，这四个小矩形全等吗？为什么？
∵矩形关于直线EF、MN对称，所以四边形AEOM，EBNO,NOFC,FOMD能够完全重合。因此这四个矩形全等。
三 应用迁移，巩固提高
例 如图，矩形ABCD被它的两条对称轴EF、MN，其中E、F、M、N分别在边AB、DC、AD、BC上，连结ME，EN，NF，FM.,试问：四边形MENF是什么样的四边形？（交流讨论）
估计学生不难发现四边形MENF是菱形但要讲出道理会有一定的困难，教师引导学生分析： 要判断四边形MENF是菱形，思路1可以先判断四边形ABCD是平行四边形，再判断MN⊥EF,或者判断一组邻边相等。思路2 判断四条边相等。
解：方法1 ∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD关于EF,MN对称，
∴OF=OE,OM=ON ∴ 四边形MENF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵MN⊥AD,AB⊥AD, ∴MN∥AB,
∵EF⊥AB, ∴EF⊥MN, ∴四边形MENF是菱形。（对角线互相平分且垂直的四边形是菱形）
方法2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD关于EF,MN对称，
∴ MF=ME=NE=NF, ∴四边形MENF是菱形(四条边相等的四边形是菱形) 方法3 连结AC,BD，∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD关于EF,MN对称， ∴E,N,F,M分别是边AB,BC，CD，DA的中点。MF=ME
A∴FN∥DB, FN＝DB,ME∥DB,ME=DB ∴四边形MENF是平行四边形
E∴四边形MENF是菱形 ODFC四 课堂练习，巩固提高
1 如图，EF是四边形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ） A
B1113 B C D 543106cm,BC=
3cm,则四边形ENFM的
DMAFCN2 矩形ABCD的两条对称轴为EF，MN，其中E、F、M、N分别在AB、DC、AD、BC上，连结ME,EN,NF,FM,AB=
EB周长和面积各是多少？
五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？
矩形的性质：（1）与平行四边形相同的性质有哪些？独特的有哪些？ （2）矩形具有哪些对称性？
矩形的判定：如果一个四边形是平行四边形，怎样判定它是矩形？
如果一个四边形的对角线互相垂直，或者邻边相等。怎样判定它是矩形，
六 作业：P 102 2,3
3.4 正方形(一)
教学目标:：
1、 能说出正方形的定义和性质。会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算。 2、 通过一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间
的区别与联系。
3、 在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情。 教学重点：正方形的定义和性质。 教学难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题。 教学过程：
一、 创设问题情境，搭建研究平台
在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已学了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，同学们能说出它的哪些性质？
正方形四条边相等；正方形四个角是直角；正方形的面积等于边长的平方；正方形是轴对称图形，也是中心称图形。
生活中有很多地方用到正方形，我们感到正方形很熟悉，但对已学过的平行四边形，矩形、菱形比较，对正方形还没有深入地研究，同学们不想知道它其中的奥妙吗？
二、 讲授新课
把平行四边形的一个角变成直角，再移动一条短边，让一组邻边相等，此时平行四边形变成一个正方形的变化的全过程；同时再展现先移动一条短边，截成一组邻边相等的平行四边形，而把一个角变成直角，此时平行四边形变成正方形。
请同学们给出正方形的定义： 一组邻边相等的矩形叫做正方形；一个角为直角的菱形叫做正方形；一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形叫正方形。
我们从它的定义可以发现，正方形是特殊的矩形，即邻边相等的矩形；也是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形；而矩形、菱形又是特殊的平行四边形，所以正方形也是特殊的平行四边形，即一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形。
做一做：把一个长方形纸片如图那样折一下，即可折出一个正方形纸片。请你说明其中的道理。
学生活动：通过折叠裁剪，得出正方形，并观察其图形特征，明白制作原理：邻边相等的矩形是正方形。
类比平行四边形、矩形、菱形、的性质我们来研究正方形的性质，可以从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结。
学生活动：（讨论后发现）
边：正方形四条边都相等；对边平行； 角：正方形四个角都是直角；
对角线：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 由此发现正方形的性质概括了平行四边形、矩形、菱形关于边、角、对角线的全部性质。在利用这些性质解决问题时，要根据需要选择相应的结论，做到“对症下药”。
应用举例：
【例4】求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 师生共析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形。
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相互交于点O。 求证：△ABO.△BCO.△CDO.△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC﹦BD,AC⊥BD ∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴△ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三角形. 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 。 拓展讨论：
1、 图中有多少个等腰直角三角形。
2、 正方形ABCD有多少条对称轴？请分别写出这些对称轴。
解析：图中共有八个等腰直角三角形，它们分别是△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ADC。且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。
连接正方形对边中点的连线是对称轴，这样的对称轴有两条；两条对角线也分别是正方形的对称轴，所以正方形共有四条对称轴。这进一步体现了它既有矩形的性质，同时也具有菱形的性质。
补充题：已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F。
求证：DECF是正方形。
证明：DE⊥AC ∠DEC=90° DF⊥BC ∠DFC=90° 四边形DECF是矩形 ∠ACB=90° CD平分∠ACB DE⊥AC DE=DF DF⊥BC 四边形DECF是正方形
三、随堂练习 课本 P104练习2 四、课时小结
图 形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 性 质 对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对角 五、课后作业 习题3.4 1
3.4 正方形(二)
教学目标:：
1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关
的论证和计算。
2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，
逐步掌握说理的基本方法。
3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。 教学重点：掌握正方形的判定条件。
教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。 教学过程：
一、 创设问题情景，引入新课
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。
1、怎样判断一个四边形是矩形？ 2、怎样判断一个四边形是菱形？
3、怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？ 二、讲授新课
1、探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形； （3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一
组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
2、正方形判定条件的应用
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。 （1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； （2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 师生共析：
（1） 是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内
角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。
（2） 真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判
定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。
（3） 假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，
所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形。
（4） 假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD
不是正方形。
（5） 真命题。
方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形
是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。
方法二，对角线平分 平行四边形 菱 形 对角线垂直 正方形 平行四边形 对角线相等 矩 形 方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。
总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。
【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。