师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。
像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。
解：将△ADF旋转到△ABC， 则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45° ∴∠GAB﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
【例3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。 画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。
2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。 3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.
则四边形ABCD就是所要画的正方形. 证明：∵AO=CO,BO=DO
四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形。 ∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形。
∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。
说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.
三、随堂练习 课本P104练习3。
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。 四、课时小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。
五、课后作业 习题3.4 2、3
补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB
解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全
等，但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
证明：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB. ∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ∴ △AEF≌△AEH.
3.4正方形(三)
教学目标
知识与技能：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法． 过程与方法：
经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法． 情感态度与价值观：
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值． 重难点、关键
重点：探索正方形的性质与判定．
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．
关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容． 教学准备
教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架． 学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容． 学法解析
1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，?在取得一定的经验的基础上，认知正方形．
3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点． 教学过程
一、合作探究，导入新课 【显示投影片】
显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）． 【活动方略】
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？?四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．?正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．
实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形． 正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等． （2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点． 二、实践应用，探究新知 【课堂演练】（投影显示）
演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，?且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．
思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，?就可以了． 【活动方略】
教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题． 证：（1）?∵四边形ABCD是正方形， ∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=?∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON， ∴△CON≌△BOM，∴BM=CN． （2）由（1）知△BOM?≌△CON， ∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=求证：△CEF是直角三角形．
1AD，F为AB的中点，4
思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质． 【活动方略】
教师活动：用投影仪显示演练题2，?组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．
学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．
证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a． ∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得： 22222222222
EF+CF=（AE+AF）+（CB+BF）=（a+4a）+（16a+4a）=25a， 222222
CE=CD+DE=（4a）+（3a）=25a，
222
∴EF+CF=CE．
由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力． 三、继续探究，学习新知 【问题牵引】 教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下： 判定方法：
1．是矩形，并且有一组邻边相等． 2．是菱形，并且有一个角是直角． 【投影显示】
例4 ?求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题． 【活动方略】
教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证． 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足． 学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、?△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 四、随堂练习，巩固深化
1．课本P104 练习1，2，3． 2．【探研时空】 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．
请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．
思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为5，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，?宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；?另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和5，高为2和
455；其二，两组对边分别为1和25，高为4?和
255；其三，两
组对边分别为2和25，高为2和
255；其四，两组对边分别为4和5，高为1和
455，?图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为5、2、25；?另一个的四条边长分别为1、3、5、5，图形略．
【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题． 五、课堂总结，发展潜能 【问题提出】
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示） 边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形 六、布置作业，专题突破 1．课本P104 习题3.4 B、1、2 2．选用课时作业优化设计
作业优化设计
【驻足“双基”】
1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，?面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，?则∠AFC=________．
3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）． A．
1111 B． C． D． 2345 4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A?向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．