由sin（
????5?2??－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（?－）－（－β）］
3322222=cos(???2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?15245 ????)=??933922?75?75???239∴cos（?+β）=2cos2－1=2??-1=－. ????729227?27?例3. 若sinA=
510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510510,sinB=， 510解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-1?sinA=-225=-
25， 5cosB=-1?sinB=-2310=-
310， 10∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =???25??310??×???-5×10=2 ① ??5?10?210????5又∵
??＜A＜?, ＜B＜?, 22②
7?. 47A?C-cos2B=,求角B的度数.
22∴?＜A+B＜2? 由①②知，A+B=
变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2得4·7A?C-cos2B=,
2271?cos(A?C)-2cos2B+1=,
22所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60°.
例4．化简sin2?·sin2?+cos2?cos2?-1cos2?·cos2?. 212解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-1·(2cos2?-1)·(2cos2?-1) 21(4cos2?·cos2?-2cos2?-2cos2?+1) 21 2=sin2?·sin2?-cos2?·cos2?+cos2?+cos2?-
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=sin2?·sin2?+cos2?·sin2?+cos2?-=sin2?+cos2?-111=1-=. 2221 2方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin2?·sin2?+(1-sin2?)·cos2?-=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-=cos2?-sin2?·cos2?-1cos2?·cos2? 21cos2?·cos2? 21cos2?·cos2? 22?1?2?=cos2?-cos2?·?sin??cos2??
?==
1?cos2?-cos2?222·?sin??(1?2sin?)?
??12??1?cos2?11-cos2?=. 2221?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1·+·-cos2?·cos2?
22222111(1+cos2?·cos2?+cos2?+cos2?)-·cos2?·cos2?=. 4221cos2?·cos2? 2方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=
14=(1+cos2?·cos2?-cos2?-cos2?)+
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin?·sin?-cos?·cos?)2+2sin?·sin?·cos?·cos?-=cos2(?+?)+=cos2(?+?)-=cos2(?+?)-
11sin2?·sin2?-cos2?·cos2? 221·cos(2?+2?) 211·［2cos2(?+?)-1］=. 22???4??4????变式训练4：化简：（1）2sin???x?+6cos??x?; 2cos2??1(2）.
???2???2tan????sin?????4??4?解 （1）原式=22?sin???2?13????????x???cos??x?? ?4?2?4??????=22?sinsin???x??coscos??x??
6464?????????????=22cos????x?=22cos(x-?64????). 12非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986
（2）原式=
cos2?1?tan?1?tan???????1?cos??2????2???=
cos2?cos2?(1?sin2?)1?sin2?=1.
小结归纳 1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．
2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±3cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切
基础过关 1．基本公式：
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：
1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ． 典型例题 例1. 求值：
sin40?(1?2cos40?)2cos240??cos40??1
解：原式＝
sin40??sin80?
cos40??cos80? ＝cos(60??20?)?cos(60??20?)＝3 变式训练1：(cosA．－解：D
例2． 已知α为锐角，且tan??，求解：∵α为锐角 ∴
sin2?cos??sin?sin2?cos2?sin(60??20?)?sin(60??20?)?12?sin?12)(cos
??＋sin)＝ （ ） 12121133 B．－ C． D．
222212sin2?cos??sin?的值.
sin2?cos2?＝
sin?(2cos2??1)2sin?cos?cos2?
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＝
51＝1?tan2?＝
4cos?变式训练2：化简：
2tan(2cos2??1?4??)?sin(2?4??)
解：原式＝
cos(cos2?2sin(?4＝1
?4??)??)??)??cos2(4例3．已知f(x)??3sin2x?sinxcosx； (1) 求f(25??13，求sinα的值． )的值； (2) 设??(0,?),f()??2426251?62cos25?3 ?62解：（1）∵sin∴f(25?25?25?25?)??3cos2?sincos?0 6666331cos2x??sin2x 222（2）f(x)?∴f()?a231313 cos??sin????2224216sin22－4sinα－11＝0 解得sin??∵2?(0,?)?sin??0 故sin???变式训练3：已知sin(解：cos(＝2sin2(
?6??)＝
131?35 81?35 8，求cos(
2??2?)的值． 32??＋2α)＝2cos2(＋α)－1 337?－α) －1＝－
96例4．已知sin2 2α＋sin2α cosα－cos2α＝1，α?(0，解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，
?2?)，求sinα、tanα的值． 2) cosα≠0 sinα≠－1
12∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
33
变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列(??[0,2?])，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．
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∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列 ∴
sin?sinrsin2?sin4?????cos??2cos22?1 sin?sin?sin?sin2?即2cos22?cos??1?0，解得cosα＝1或cos???
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当cos???时，∵2∈*0,2π+ ∴2?∴??122?2?或2? 33122?4?8?4?8?16?或??,??,r? ,??,r?333333 小结归纳 1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；
2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)． 3．对三角函数式的变形有以下常用的方法： ① 降次（常用降次公式）
② 消元（化同名或同角的三角函数） ③ 消去常数“1”或用“1”替换 ④ 角的范围的确定
第5课时 三角函数的化简和求值
基础过关 1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；
④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；
③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[?, 典型例题 cos40??sin50?(1?3tan10?)sin701?cos40????22]、[0，π+、（?,??22）的角．
例1. （1）化简：
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