（2）化简：
?1?sin6x?cos6x
1?sin4x?cos4xcos10??3sin10?cos10?解：∵1?3tan10? ＝
2cos(60??10?)cos10??
2cos50?cos10? ∴原式
cos40???2sin50?cos50?cos40??12cos220?cos10???=2
sin70??2cos20?2cos220?2cos220?变式训练1：已知f(x)?解：
2 sin?1?x?，若??(,?)，则f(cos?)? f(?cos?)可化简为 ． 1?x2例2. 已知6sin2??sin?cos??2cos2??0，α∈[
??，?]，求sin（2α＋）的值． 23解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0
?3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０ 由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠?即α∈(?,π)
22∴tanα＝－ sin(2α＋?)＝sin2αcos
323?＋cos2αsin?
33＝sinαcosα＋＝＝
sin?cos?32(cos2α－sin2α)
3cos2??sin2???2cos2??sin2?cos2??sin2?tan?1?tan2??31?tan2??21?tan2?
＝?653?1326
解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠?
2从而条件可化为 6 tan2α＋tanα－2＝0 ∵α∈(?,π) 解得tanα＝－2(下同解法一)
23变式训练2：在△ABC中，sinA?cosA?解：∵sinA＋cosA＝∵2sinAcosA＝－1
22，AC?2，AB?3，求tanA的值和△ABC的面积． 222 ①
从而cosA＜0 A∈(?,?)
2非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986
∴sinA－cosA＝(sinA?cosA)2?4sinAcosA ＝
62 ②
6?24据①②可得 sinA＝∴tanA＝－2－S△ABC＝3(6?2)43 cosA＝
?6?2 4
11，tanβ＝-，且α、β∈（0，?），求2α－β的值. 27例3. 已知tan(α－β)＝
解：由tanβ＝－1 β∈(0，π)
7得β∈(?, π) ①
2由tanα＝tan*(α－β)＋β+＝1 α∈(0，π)
3得0＜α＜? ∴ 0＜2α＜π
2由tan2α＝3＞0 ∴知0＜2α＜? ②
42∵tan(2α－β)＝
tan2??tan?1?tan2?tan?＝1
由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－
3? 4(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)
)154变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
sin2??cos2??14sin(???解：由sinα＝∴cosα＝－1
4154 α为第二象限角
∴＝
)44?sin2??cos2??12cos?(sin??cos?)sin(???)sin(???
122cos?＝－
2
例4．已知
3?10????,tan??cot???． 43（1）求tanα的值；
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（2）求
5sin2?2?8sin?2cos?2?11cos2?2?82sin(???2的值．
)解：（1）由tan??cot???10 313得3tan22?10tan??3?0 解得tanα＝－3或tan??? 又
3?1????，所以tan???为所求．
345?1?cos?1?cos??4sin??11??822
?2cos?（2）原式：??5?5cos??8sin??11?11cos??16?22cos?8sin?66cos??22cos??8tan??6?22??
?52 6变式训练4：已知
?2sin2??sin2??，试用k表示sin?－cos?的值． ?k（<α<）
41?tan?2?2sin?cos?
2解：∵2sin??sin2?1?tan?∴k＝2sinαcosα
∵(sinα－cosα)2＝1－k 又∵α∈(,??) ∴sinα－cosα＝1?k 42 小结归纳 1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构
3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．
第6课时 三角函数的恒等变形
基础过关 一、三角恒等式的证明
1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．
2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结
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构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．
3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． 二、三角条件等式的证明
1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立． 2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：
⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．
⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．
⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之． 典型例题 例1．求证：
1?cos??cossin??sin2cos2?2＝
?2sin?
1?cos???证明：左边＝
coscos(1?2cos)22?22?????2sincos?sinsin(1?2cos)22222??cos?
?＝
2?cot??sin??21?cos?sin2＝右边
??)＋tan(α－)＝2tan2α 44变式训练1：求证：tan(α＋证明：∵(α＋∴tan*(α＋∴
tan(???4?4)＋(α－
?4?4)＝2α
)＋(α－)]＝tan2α
?4)?tan(???4)?tan2?)1?tan(???4)?tan(???4)?tan(??)∴44?tan2?
??1?tan(??)?cot(??)44tan(????∴tan(α＋
?4)＋tan(α－
?4)＝2tan2α
tan5??tan3??4(tan5??tan3?) 例2．求证：
cos2?cos4?sin5?sin3??cos5?cos3?证明：左边＝
cos2??cos4?sin8?4sin2??cos2??cos4?＝cos5??cos3??cos2??cos4?? cos5??cos3??cos2??cos4?非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986
8?4sin2??cos2??cos4??＝
cos2??cos4?cos5??cos3??cos2??cos4?4sin2?＝ cos5??cos3?右边＝4(
sin5?sin3??) cos5?cos3?sin5??cos3??cos5??sin3?4sin2?＝4·＝ cos5??cos3?cos5??cos3?∴左边＝右边 即等式成立
变式训练2：已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝
3tanB?tanBtanA?tanB2?证明：tan(A－B)＝ 31?tanA?tanB21?tanB2sin2B．
5?cos2BsinBtanBsinBcosBcosB??＝2?3tan2B 3sin2B2cos2B?3sin2B2?cos2B＝
2sinB?cosB4cos2B?6sin2B?sin2B4?2sin2B?sin2B
5?cos2B例3．如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β． （1）证明：sinα＋cos2β=0； A （2）若AC?3DC，求β的值． 解：（1）∵???2??BAD??2?(2??2?)?2???2 B D
C
∴sin??sin(2???2)??cos2?
即sinα＋cos2β＝0
（2）在△ADC中，由正弦定理得即
DCAC?． sin?sin(???)DC3DC? ∴sin??3sin? sin?sin?由（1）sinα＝－cos2β
∴sin???3cos2???3(1?2sin2?) 即23sin2??sin??3?0 解得sin??33或sin??? 22非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986