（2）求函数f(x)的单调递增区间．
x解：(1)当a＝1时，f(x)＝2cos2＋sinx＋b
2
＝∴递增区间为[2kπ－
2sin(x??4)?b?1
3??,2k??44](k∈z)
2asin(x?(2)∵f (x)＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝而x∈[0，π]，x＋∴sin(x＋
?4?4?4)?a?b
∈[
?5?,44]
)∈[?2,1] 2?2a?a?b?3?∴?2?2a(?)?a?b?42??a?1?2 ∴? ???b?4变式训练3：已知函数f (x)＝log1(sinx－cosx)
2⑴ 求它的定义域和值域；
⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性；
⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． 解：(1) 由题意得：sinx－cosx＞0即从而得2kπ＋
?42sin(x－
?4)＞０
＜x＜2kπ＋π
?4，2k?＋5?454函数的定义域为(2k?＋∵0＜sin(x－
?4)(k∈z)
2)≤1 ∴0＜sinx－cosx≤
212
12即log 1(sinx－cosx)≥log 122＝－故函数f (x)的值域为[－，＋∞]
?4(2) ∵sinx－cosx＝[2k?＋?4，2k?＋3?42sin(x－)在f(x)的定义域上的单调递增区间为(2k?＋3?5?，2k?＋44)(k∈z)，单调递减区间为
](k∈z)
(3) ∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4) ∵f(x＋2π)＝log 1[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)]
2＝log 1 (sinx－cosx)＝f(x)
2∴f (x)函数的最小正周期T＝2π
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例4.已知函数y＝acosx＋b的最大值为1，最小值是－3，试确定f(x)＝b sin(ax＋解：(1)若a＞0，则a＋b＝1，－a＋b＝－3， ∴ a＝2，b＝－1，此时，f(x)＝－sin(2x＋单调增区间为[kπ＋单调减区间为[kπ－
?7?，kπ＋] (k∈z) 1212?5?，kπ＋] (k∈z)
1212?)的单调区间． 3?) 3(2) 若a＜0，则－a＋b＝1，a＋b＝－3， ∴ a＝－2，b＝－1， 单调增区间为[kπ－单调减区间为[kπ＋
?5?，kπ＋] (k∈z) 12125?11?，kπ＋] (k∈z) 1212变式训练4：某港口水的深度y（米）是时间t(0≤t<24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的
数据：
6 9 12 t（时） 0 3 y（米） 10 13 t（时） 15 18 9.9 7 21 10 24 10 y（米） 13 10.1 7 经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx＋b的图象．
（1）试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底中需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果希望该船在一天内安全进出港，请问，它至多在港里停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？
解：(1) 由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10 ∴y＝3sin
?t＝10 6(2) 由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米) ∴3sin
1??t＋10≥11.5 sint≥
266解得2k?＋
??5?≤t≤2k?＋ 666即12k＋1≤t≤12k＋5 k∈z
在同一天内，取k＝0或1． ∴1≤t≤5 或 13≤t≤17
∴该船最早能在凌晨1时进港，最迟下午17时出港，在港内最多能停留16小时．
小结归纳 1．求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如常常丢掉使tanx有意义的x≠nπ＋
?(n∈Z)． 22．求函数值域的问题一方面要熟悉求值域的一般方法和依据，另一方面要注意三角函数的有界性．
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3．求周期一般先将函数式化为y＝Af(ωx＋?)(f为三角函数)，再用周期公式求解．
4．函数y＝Asin(ωx＋?)(A>0，ω>0)的单调区间的确定的基本思想是把(ωx＋?)看作一个整体，再利用正弦函数的单调区间解出x即为所求．若ω<0，可用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－?)再仿照以上方法解之.
第9课时 三角函数的最值
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．函数与方程
两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解；反之，要求方程基础过关 f(x)?g(x)的解，也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n，再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在区间(m,p)中；若2f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若f(p)?0，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到
区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
典型例题
例1. 求下列函数的最值． ⑴ y＝
sin2x?sinx；
1?cosx⑵ y＝2 cos(⑶ y??＋x)＋2cosx； 31?sinx．
3?cosx2sinx?cosx?sinx?2cos2x?2cosx1?cosx解：(1) y＝＝2(cosx?
121)?2212
12∴ 当cosx＝?时，ymin=? ∵ cosx≠1
∴ 函数y没有最大值。
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(2) y＝2cos(
?3?x)+2cosx
=2cos?cosx?2sin?33sinx?2cosx
=3cosx－3sinx
=2
3cos(x??6)
∴当cos(x??6)＝－1时，ymin＝－23
当cos(x??6)＝1时，ymax＝23
(3) 由y?1?sinx3?cosx得sinx－ycosx＝3y－1
∴y2?1sin(x??)＝3y－1 (tan?＝－y) ∵|sin(x＋?)|≤1 ∴|3y－1|≤y2?1 解得0≤y≤31?sinx4 故y?3?cosx的值域为[0，34]
注：此题也可用其几何意义在求值域．
变式训练1：求下列函数的值域： （1）y=
sin2xsinx1?cosx;
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos(?3?x)+2cosx.
解 （1）y=2sinxcosxsinx2cosx(1?cos2x)1?cosx=1?cosx
=2cos2x+2cosx=2(cosx?1)2-122.
于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1, ∴y＜4，且ymin=-1,当且仅当cosx=-122时取得.
故函数值域为???1??2,4??.
（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx, 即sinxcosx=
t2?12. 有y=f(t)=t+t2?12=12(t?1)2?1.
又t=sinx+cosx=2sin(x??4)，
∴-2≤t≤2.
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咨询热线： 故y=f(t)=
1(t?1)2?1(-2≤t≤2), 212从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+.
1?即函数的值域为??1,2???.
?2?（3）y=2cos(?x)+2cosx
3?=2cos
??cosx-2sinsinx+2cosx 33=3cosx-3sinx
?3?1=23?cosx?sinx?
?2?2??=23cos(x?).
6?∵cos(x?)≤1
6?∴该函数值域为［-23，23］.
例2. 试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值与最小值，又若x?[0,]呢？
2?解： 令t＝sinx＋cosx 则t∈[－2，2] 又2sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)2－1＝t2－1 ∴y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，显然ymax＝3＋2 若x∈[0，
121234?] 则t∈[1，2] 234y＝(t＋)＋在[1，2]单调递增． 当t＝1即x＝0或x＝当t＝2即x＝
?时，y取最小值3． 2?时，y取最大值3＋2． 4变式训练2：求函数f(x)?x?cosx(sinx?cosx)??3??x???,?的最大值和最小值．
?44?点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单． 解：f(x)＝x－(sin2x＋cos2x)－ ∴f′(x)＝1＋2sin(2x－∵x∈[－
?) 412125?3??3?，] ∴2x－∈[－，?]
44444非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986