所求解析式为y=-3sin(2x?). ①
3?方法二 由图象知A=3， 以M(,0)为第一个零点，P(3?5?,0)为第二个零点. 6?????2?·???0???3列方程组? 解之得?2?.
???5????·????3??6?∴所求解析式为y=3sin(2x?2?). ② 3变式训练3：函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜ A. y=-4sin(x?) B. y=-4sin(x?)
8484?,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为( ) 2????C. y=4sin(x?) D. y=4sin(x?)
8484????答案 B
例4．设关于x的方程cos2x＋3sin2x＝k＋1在[0，解：由cos2x＋即sin(2x＋
?63?]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k的取值范围． 2sin2x＝k＋1得 2sin(2x＋
k?12?6)＝k＋1
)＝
k?12设c: y＝sin(2x＋由图易知当
?6)，l: y＝
，在同一坐标系中作出它们的图象(略)
1k?1?22＜1时, 即0≤k＜1时
?对称.。故α6直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可以看出α、β关于x＝＋β＝
? 334变式训练4.已知函数f (x)＝sin(ωx＋?)(ω>0，0≤?≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，
?]上是单调函数，求?和ω的值． 2解：由f (x)是偶函数，得f(－x)＝f (x)即sin(－?x＋?)＝sin(?x＋?) ∴－cos?sin?x＝cos?sin?x对任意x都成立，且?＞0， cos?＝0 依题意设0≤?≤π ∴?＝
?2
由f(x)的图象关于点M对称， 得f(
3?4－x)＝－f (
3?4＋x)
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取x＝0得f （∴f(
3?43?4）＝－f （
3?4） f (
3?4)＝0
)＝sin(
3??3???＋)＝cos＝0 244又?＞0得
233???＝＋kπ 24?＝(2k＋1) (k＝0，1，2……) 当k＝0时，?＝ f (x)＝sin(
232x??32)在[0，)在[0，)在[0，
?2]上是减函数； ]上是减函数； ]上不是减函数；
当k＝1时，?＝2 f (x)＝sin(2x＋当k≥2时，?≥
23?2?2103 f (x)＝sin(?x??2?2∴?＝或?＝2 小结归纳 1．图象变换的两种途径 ⑴ 先相位变换后周期变换
y＝sinx ?y＝sin(x＋?)? y＝sin(ωx＋?)
⑵ 先周期变换后相位变换
y＝sinx ?y＝sinωx?y＝sinω (x＋?) 2．给出图象求解析式y＝Asin(ωx＋?)＋B的难点在于ω、?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：⑴ “五点法”运用“五点”中的一点确定．
⑵ 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→ω．
第8课时 三角函数的性质
基础过关 1．三角函数的性质
函 数 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 单调性
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
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最大(小)值
2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系．
⑴ 若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝ ．
⑶ 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数． 典型例题 例1. 化简f (x)＝cos(正周期．
解：(1) f(x) ＝2sin(ax＋
?)(0＜a＜1) 36k?16k?1???2x)＋cos(??2x)＋23sin(＋2x)(x∈R，k∈Z)．并求f (x)的值域和最小333由于f(x)·g(x)最小正周期相同 得
?2?＝ 即a＝2m ma又f(1)＝2g(1) 即2sin(a＋把a＝2m代入得sin(2m＋
??)＝2tan(m＋)
63??)＝tan(m＋)
63sin(m????6 ∴2sin(m＋)cos(m＋)＝
?66cos(m?)6)∴sin(m＋
2??)＝0或cos(m＋)＝±
266当sin(m＋当cos(m＋
??)＝0时，m＝k?－(k≠z)，这与0＜m＜1矛盾． 66?5?2??)＝±时，m＝k?＋或m＝k?－?(k∈z)，现由0＜m＜1时得m＝故a＝
12121226b????x＋)，g(x)＝tan(x＋)
12663∴f(x)＝2sin(
(2) 由2k?－
????≤x＋≤2k?＋得 2623x∈[12k－5，12k＋1]
∴f(x)的单调递增区间为[12k－5，12k＋1] (k∈z) 变式训练1：已知函数f(x)?3sin(2x?)?2sin2(x?6??12) (x?R)；
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 解：(1)f(x)?3sin2(x??12)?cos2(x??12)?1
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＝2??3?1??sin2(x?)?cos2(x?)??1
12212??2??＝2sin??2(x???12)????1?2sin(2x?)?1 6?3??∴T?2??? 2(2)当f(x)取最大值时，sin(2x－有2x－
?)＝1 3??5?＝2k?＋ 即x＝k?＋(k∈z) 3212?5??,k?z? 12?故所求x的集合为??x|x?k??例2已知函数f (x)＝
2sinx1?cos2x
⑴ 求f (x)的定义域．
⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．
⑶ 在[－π，π+上作出函数f (x)的图象．
⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1) 由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0 ∴cosx≠0即x≠kπ＋
?2，(k∈z)
?2∴函数f (x)的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈z｜}
(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x， f (－x)＝
2sin(?x)1?cos(?2x)??2sinx1?cos2x??f(x)
∴f (x)为奇函数. (3) f (x)＝
?2sinx2cosx?sinxcosx又x∈[－π，π]
y 且x≠－,x?2?2
?????tanx(??x?)?22∴f(x)＝? ?????tanx(???x??或?x??)?22?-π 2 0 ?2 π x f (x)的图象如右：
(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π． f (x)的单调递增区间是(??2?2k?,?2?2k?)(k∈z)
变式训练2：求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cosx);（2）y=sinx?cosx.
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解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.
方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-??+2k?＜x＜+2k?,k∈Z}. 22方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,
∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为
?????x|??2k??x??2k?,k?Z?.
22??（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2?］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.
在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为所以定义域为??x|??5?，，再结合正弦、余弦函数的周期是2?, 44?4?2k??x?5???2k?,k?Z?. 4?方法二 利用三角函数线，
如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM， 则
?5?≤x≤（在［0，2?］内）. 44∴定义域为
5?????2k?,k?Z?. ?x|?2k??x?4?4?方法三 sinx-cosx=2sin(x?)≥0，
4?将x-
?视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 4?≤?+2k?, 4可知2k?≤x-解得2k?+
?5?≤x≤+2k?,k∈Z. 44所以定义域为??x|2kx???4?x?5???2k?,k?Ζ?. 4?例3设函数f(x)?sinax?3cosax(0?a?1)，g(x)?tan(mx?)(0?m?1)，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且
6?2(g)＝f(1)；
（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；
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