因为0????2，所以sin???33从而?? 22变式训练3.已知?,??(0,)且sinβ·cosα＝cos(α＋β)．
2sin2cos?（1）求证：tan??；
1?sin2?（2）用tanβ表示tanα．
解：（1）∵sin??cos??cos(???) ∴
sin??cos?cos??sin?sin? sin?∴sin??sin?cos?cos??sin2?sin?
sin?cos?1?sin2?∴tan??
（2）tan??sin?cos?sin2??cos2??sin2?2
?tan?1?2tan2?
3CA2
例4.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝2sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．
证明：∵sinA·cos2∴sinA·1?cosC2C2＋sinC·cos2
1?cosA2A232＝sinB
32＋sinC·＝sinB
∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cosＡ·sinC＝3sinB ∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB
∵sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC＝2sinB
变式训练4：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β． 证明：(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋2sinθ·cosθ＝4sin2α 将sinθ·cosθ＝sin2β代入得1＋2sin2β＝4sin2α ∴1＋1－cos2β＝2(1－cos2α) ∴2cos2α＝cos2β
小结归纳 1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．
2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式． 3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．
第7课时 三角函数的图象与性质
基础过关 1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．
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“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象． 函
y＝sinx y＝cosx y＝tanx 数
图
象
注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．
3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋?)(ω>0)的图象．
令x'＝ωx＋?转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． ４．函数y＝Asin(ωx＋?)的图象与函数y＝sinx的图象关系．
振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0
周期变换：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为 ． 相位变换：y＝sin(x＋?)(?≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向 (?>0)或向 (?<0)平移 个单位而得到的．
由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋?)的图象主要有下列两种方法： 振幅 周期 相位 y＝sinx 变换 变换 变换 或
振幅 相位 周期
y＝sinx 变换 变换 变换
说明：前一种方法第一步相位变换是向左(?>0)或向右(?<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(?>0)或向右(?<0)平移 个单位． 例1.已知函数y＝Asin(ωx＋?)(A>0，ω>0) ⑴ 若A＝3，ω＝，?＝－
12?，作出函数在一个周期内的简图． 32⑵ 若y表示一个振动量，其振动频率是解：(1) y＝3sin(
x??23x??23?，当x＝
?24时，相位是
y 3 2 1 ?，求ω和?． 3)列表(略)图象如下：
π 3?2 0 ?2 2π -1 0 2?5?8?11?14?x -2 33 3 3 3 -3 非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986
2?3x y 5?3 8?3 11?3 14?3 0 3 0 －3 0 (2)依题意有：
?2????4f????2?? ∴??? ????????????6??243?变式训练1：已知函数y=2sin(2x?),
3?(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y=2sin(2x?)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
3?解 （1）y=2sin(2x?)的振幅A=2,周期T=
3?2?2=?，初相?=
?. 3（2）令X=2x+
??,则y=2sin(2x?)=2sinX. 33列表，并描点画出图象： x X y=sinX y=2sin(2x+
（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移的图象上的点的横坐标缩短到原来的
???个单位，得到y=sin(x?)的图象，再把y=sin(x?)333-? 6? 12? 2? 37?123?2 5? 60 0 ?) 0 3? 2? 0 0 1 2 0 0 -1 -2 1??倍（纵坐标不变），得到y=sin(2x?)的图象，最后把y=sin(2x?)上
332?3所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin(2x?)的图象.
方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；
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再将y=sin2x的图象向左平移
??个单位； 6得到y=sin2(x?)=sin(2x?)的图象；再将y=sin(2x?)的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长
633??为原来的2倍，得到y=2sin(2x?)的图象.
3?例2已知函数y=3sin(x?)
412?（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；
（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：
x
1?x?2412? 23?2
5?2
7?23?2
9?2
?0
? 2?
2? 0
3sin(x?) 0
43 0 -3
描点、连线,如图所示：
（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有点向右平移
???个单位，得到y=sin(x?)的图象；再把y=sin(x?)的图象上所有444点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
y=sin(x?)的图象，最后将y=sin(x?)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就
4412?12?得到y=3sin(x?)的图象.
412?方法二 “先伸缩，后平移”
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移得到y=sin(x-121212?个单位， 2?x?x?)=sin(?)的图象，最后将y=sin(?)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横
2424212坐标不变），就得到y=3sin(x?)的图象.
4?（3）周期T=
2??=
?2?=4?，振幅A=3，初相是-. 142(4)令x?12?4=
?+k?(k∈Z), 2得x=2k?+
3?(k∈Z),此为对称轴方程. 2非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986
令
1??x-=k?(k∈Z)得x=+2k?(k∈Z). 242?2对称中心为(2k??,0) (k∈Z).
变式训练2：已知函数f(x)?3sin?xcox?x?cos2?x? (??R,x?R)的最小正周期为π且图象关于x?(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在[0,]上中有一个交点，求实数a的范围．
232?6对称；
?解：（1）f(x)??31?cos2wx3sin2wx?? 22231sin2wx?cos2wx?1 22?sin(2wx??6)?1
2???2w?w??1
∵w∈R ?T?当w＝1时，f(x)?sin(2x?)?1 此时x?6??6不是它的对称轴
∴w＝－1 ?f(x)?sin(?2x?)?1?1?sin(2x?)
66??（2）y?1?f(x)?sin(2x?)
6?0?x???2??6?2x??6?7? 611如图：∵直线y＝a在[0,]上与y＝1－f(x)图象只有一个交点 ∴??a?或a＝1
222y
1 27? 6x 0 ? 6
1－ 2
例3．如图为y=Asin(?x+?)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点， 则A=-3，T=2(5???)=?， 63?∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）. ∵点N(?,0)，∴-6???×2+?=0，∴?=， 63非学无以广才 非静无以致远 咨询热线：0757-86081986