（2）圆轴扭转时横截面上的切应力沿半径线性分布，在圆心处为零，外缘处最大，应力方向垂直于半径，实心圆截面和空心圆截面的切应力值的连线均过圆心。
Wp??D316（3） 空心圆轴扭转的抗扭截面横量 数是4次方。
?1???4，注意式中?的指
（4）低碳钢圆轴扭转破坏是沿横截面剪切破坏，铸铁圆轴扭转破坏是-沿与轴线成45o的斜面被拉断。
【习题解析】
例3.1 已知传动轴为钢制实心轴，最大扭矩MT＝7.64kNm，材料的许可切应力[?]＝30MPa，切变模量G＝80GPa，许可扭角[?]＝0.3?/m，试按强度条件和刚度条件设计轴径d。
16MT316?7.64?106解：根据强度条件式(4-6)得出： d?3??109mm?[?]??30 再根据刚度条件式(4-9b )得出：
d?4MT?32?18047.64?106?32?180??117mmG?2[?]80?103??2?0.3?10?3 两个直径中应选其中较大者，即实心轴直径不应小于117mm，说明在此设计中刚度是主要的。
例3.2 已知圆轴受外力偶矩m＝2kNm，材料的许可切应力[?]＝60MPa。 （1）试设计实心圆轴的直径D1;
（2）若该轴改为?=d/D=0.8的空心圆轴，式设计空心圆轴的内、外径d2 、D2。 解：（1）扭矩MT=m=2kNm，实心圆截面直径
16MT316?2?106D1?3??55.4mm ?[?]??60（2）若改为?＝0.8的空心圆轴，设计外径
16MT16?2?106D2?3?3?66.0mm44(=0.81??)[2?=0.8]×66.0?(1＝?52.8mm0.8)?。60内径?d2×D （3）比较二者面积 空心轴的截面积：
A1?2实心轴的截面积：?D2?55.4 14?4?2410.5mm2 22?66.0 ?D2A2?(1??2)?(1?0.82)?1231.6mm2 44 A2?1231.6?0.512410.5 A1解题指导：由此例可见使用空心圆轴比实心圆周可以节约很多材料，其主要原因是空心圆轴的材料布置离轴心较远，充分发挥了材料的承载能力。
例3.3 计算图中受扭圆轴的应变能。设d1=2d2，材料的切变模量为G。
解：此轴扭矩是常数，MT=m，但AB和BC截面尺寸不同，因此应分段计算应变能，然后再相加。有
U?UAB?UBC 22MTLMTL??2GIP12GIP2
?32m2L2G??2d2?432m2L?42G?d2m2L?174G?d2【实战训练】
3－1 试作图示各杆的扭矩图，并确定最大扭矩? T ?max 。
答案： （a）?T?max＝2Me ；（b）?T?max＝2Me ；（c）?T?max＝30kN.m 。
3－2 图示一传动轴，转速n＝200 r/min ，轮C为主动轮，输入功率P＝60 kW ，轮A、B、C均为从动轮，输出功率为20 kW，15 kW，25 kW。
（1）试绘该轴的扭矩图。
（2）若将轮C与轮D对调，试分析对轴的受力是否有利。
答案：T1＝954.9N.m。
3－3 传动轴的转速n＝500 r/min ，主动轮1输入功率P1=368kW ，从动轮2、3分别输出功率P2＝147.2kW、P3＝221kW。已知?? ? ＝70 MPa ，???＝1 0/m ，G＝80GPa 。
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2 ； （2）若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d ； （3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？
答案：（1）d1 ? 84.6mm， d2 ? 74.5mm ；（2）d ? 84.6mm ； （3）主动轮1放在从动轮2和3之间比较合理。
3－4 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D＝140mm ，内径d＝100mm ；BC段为实心，直径d＝100mm 。外力偶矩MeA＝18kN.m ，MeB＝32kN.m ，MeC＝14kN.m 。已知： ?? ? ＝80 MPa ，???＝1.2 0/m ，G＝80GPa 。试校核该轴的强度和刚度。
答案：AE段：?max＝45MPa ，?＝0.440/m ； BC段：?max＝71.3MPa ，?＝1.020/m
第四章 弯曲应力
【重点难点】
弯曲内力是材料力学中的一个重要的基本内容，原理简单但容易出错。应特别加以注意。
（1）正确地计算支座反力是绘制内力图的关键，应确保无误。因此利用平衡方程求出支反力后，应进行校核。
（2）计算梁横截面的内力时，应特别注意外力的方向与其引起的内力符号的关系，以保证内力的正负号正确。
（3）梁上荷载不连续时，剪力和弯矩方程需分段列出。各段方程的x坐标原点和方向可以相同，为了计算方便也可以不同。
（4）作出梁的内力图后应利用q、Q、M之间的微分关系进行校核，以确保正确。
（5）利用剪力Q、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系,可得到下述结论: a）在q＝0的区段，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线；当Q >0，弯矩图／（上升），Q < 0，弯矩图 \\（下降）。
b）在q＝c（常数）的区段，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
当q (↑) > 0，剪力图／，弯矩图 ；当q (↓) < 0，剪力图 \\，弯矩
图 。
c)在Q = 0的点处，弯矩图有极值；在Q 突变处，弯矩图有一个折角。 （6）剪力图、弯矩图的一般规律：
a）在集中力作用处，剪力Q图有突变，突变量等于集中力的值，突变方向与集中力作用方向一致。弯矩M图斜率有突变，出现折角。
b）在集中力偶作用处，剪力Q图无变化。弯矩M图有突变，突变量等于该集中力偶矩值。
c）在分布力的起点和终点，剪力图有拐点;弯矩图为直线与抛物线的光滑连接。
d)当梁的简支端或自由端无集中力偶时,弯矩为零。
e）梁的最大弯矩通常发生在剪力Q=0处或集中力、集中力偶作用点处。 f）对称结构承受对称荷载作用时，剪力图是反对称的（剪力指向仍是对称的），弯矩图是对称的。对称结构承受反对称荷载时，剪力图是对称的，弯矩图是反对称的。
g）平面刚架的弯矩不分正负号，但应将弯矩图在杆件受拉的一侧，此规定与水平直梁正弯矩画在轴线下方的规定完全一致。
1(1) 若已知杆件弯曲成的曲率半径?的缘弧时，由公式(7-2) ?求出所施加弯矩。
(2) 发生平面弯曲的条件为：
1. 外力偶作用平面与梁的形心主惯性平面平行；
?MEIz可以
2. 横向外力作用平面与梁的形心主惯性平面平行并通过截面的弯曲中心。 (3) 通常在进行弯曲强度计算时，应先画出梁的剪力图和弯矩图，在弯矩(绝对值)最大的截面校核弯曲正应力强度，在剪力(绝对值)最大截面校核弯曲切应力强度。
(4) 对于铸铁一类脆性材料梁进行弯曲强度计算时，应找出全梁的最大拉压正应力，然后再分别进行拉、压强度校核。当梁上同时存在正、负弯矩，且横截面上下不对称时，最大拉（或压）应力可能不足在弯矩绝对值最大截面上。
(5) 在进行梁的截面设计时，应同时满足正应力和切应力的强度条件，一般先按正应力强度条件选择截面，然后再进行切应力强度校核。
(6)最大切应力通常总是发生在中性轴上。
矩形截面最大切应力：
?max?3Q4Q?max?2A; 圆形截面最大切应力：3A;
QA。
圆环形截面最大切应力：
?max?2【习题解析】
例4.1 写出图示各梁的剪力方程和弯矩方程，并做剪力图和弯矩图。