答案：?FP?＝3.7kN。
4－15 图示一由No.16工字钢制成的简支梁，跨中作用着集中荷载FP 。在截面C－C处梁的下边缘上，用标距s＝20mm的应变仪量得纵向伸长?s＝0.008mm 。已知梁的跨度l＝1.5m ，a＝1m ，弹性模量E＝210GPa 。试求Fp力的大小。
答案：?FP?＝47.4kN。
第五章 梁弯曲时的位移
【重点难点】
1）积分法是求解梁变形的基本方法。注意梁的挠曲线微分方程是建立在以梁左端为坐标轴原点，x轴向右为正，y轴向上为正的坐标系上。如使用不同坐标系，必须注意正负号。
2）积分法求梁变形时，需注意正确利用挠曲线光滑连续特性寻找确定积分常数的条件。
M(x)1?EI3）对于一些荷载未知，但曲率已知的情况，可利用公式(8-3) ?(x)求解。
4）为提高梁的弯曲刚度，可以选择弹性模量高的材料。但需注意，各种钢材极限应力差别较大，但它们的弹性模量却相当接近，选用优质钢材只能提高梁的强度并不能提高刚度。5）卡氏第二定理适用于求解线弹性杆（或结构）在小变形下的任意截面和方向的位移。不但能够处理直杆，还可以计算曲杆的位移。
【习题解析】
例5.1 用积分法求图所示梁挠曲线方程时，要分几段积分？将出现几个积分常数？列出确定其积分常数条件。（弹簧刚度为k）
解：（a）分两段积分，1. AC段，2.CB段。4个积分常数。 边界条件：vA=0，vB= RB/ k (RB 为B点支反力) 连续条件：vC1＝vC2 ? C1＝?C2
（b）分三段积分，1. AD段，2.DC段，3.CB段。6个积分常数。 边界条件：vA=0，? A=0，vB=0，
连续条件：vD1＝yD2， ? D1＝? D2，vC2＝yC3。
解题指导：（1）在荷载突变处、中间约束处、截面变化处（惯性矩I突变处）及材料变化处（弹性模量E值突变处）均应作为分段积分的分段点。
（2）中间铰链连接了两根梁，也应作为分段点。
（3）各分段点处都应列出连续条件，中间铰链只限制了两梁在该点的相对位移，不能限制转动，故只有一个挠度连续条件。
例5.2 变截面简支梁受到集中力P的作用，如图 (a)所示，试用叠加法计算梁自由端B处的挠度vB和转角? B。
解：由于梁在C截面处截面尺寸发生变化，须分两段计算变形，再进行叠加。首先将梁沿截面变化处C截开，把CB段梁暂时看作是在C处固支的悬臂梁（图 (b)），利用材料力学教材上的典型梁变形表可得B点位移：
?B1P(l/2)PlP(l/2)2Pl2vB1????3EI24EI（↓） 2EI8EI（ ），
33再求AC段C截面位移。将外力P向C点平移，C点受两个外力：集中力P和集中力偶Pl/2。查表可得
P?l/2??Pl/2??l/2?3Pl2?C???2E(2I)E(2I)16EIP?l/2??Pl/2??l/2?5Pl3vC???3E(2I)2E(2I)96EI
注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的C截面上，AC段C截面的位移必然会牵动CB段，因此将梁CB段下移vC，再使整个CB段转动?C角，则CB段即与图 (c)的AC段衔接而得到整个梁的变形，如图 (d)。在此拼合过程中B点又获得额外的转角?B2和挠度vB2，由图c可知
322?B2??C
vB2l5Pl33Pl2l14Pl3?vC??C????296EI16EI296EI
Pl23Pl25Pl2???8EI16EI16EI
于是B端的挠度和转角为
?B??B1??B2vB?vB1?vB2Pl314Pl33Pl3???24EI96EI16EI
解题指导：此例题设所给出的结构无法由手册或表格中查到，因此对结构进行了分解，将其等效化处理为可查表结构，然后再对结构叠加。叠加原理，即可以用于荷载的叠加，也可以用于结构的叠加。
【实战训练】
5－1 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明积分常数如何确定。
5－2 变截面悬臂梁受力如图所示。试写出其挠曲线的近似微分方程，并说明积分常数如何确定。
5－3 试用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。
答案： （a）wA＝5ql4 / 768EI（?） ，
（b）wA＝qa4 / 8EI（?），?B＝0 ， （c）wA＝－ql4 / 16EI（?），?B＝－ql3/ 12EI（逆时针） （d）wA＝3FPl3 / 76EI（?），?B＝3ql2/ 8EI（逆时针） （e）wA＝41qa4 / 24EI（?），?B＝3qa3/ 4EI（逆时针） （f）wA＝0，?B＝ql3/ 72EI（顺时针）
5－4 试用叠加法确定图示梁在中间铰B处的挠度wB及FP力作用点的位移wD 。设AB和BC两梁的EI相同。
答案： wB＝qb4 / 8EI＋2FPb3/9 EI（?），
wD＝qb4 / 12EI＋4FP（a3/9 ＋b3）/27EI（?）。
5－5 图示梁，右端C由拉杆吊起。已知梁的截面为200mm×200mm的正方形，材料