的E1＝10GPa ，拉杆的截面积为A＝2500mm2 ，其E2＝200GPa ，试用叠加法求梁跨中截面D的垂直位移。
答案： wD＝6.37mm（?）
5－6 图示一悬臂的工字钢梁，长l＝4m ，在自由端作用集中力FP＝10kN ，已知钢的?? ? ＝170 MPa ，?? ? ＝100 MPa ，E＝210GPa ，梁的许用挠度?w?＝l / 400 ，试按强度和刚度条件选择工字钢型号。
答案：选用No.32a工字钢。
第六章 简单的超静定问题
【习题解析】
例6．1 平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图a所示。在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A、l、E。试求三根杆的轴力N1、N2、N3。
解：设在荷载G作用下，横梁移动到A?B?位置（图b），则杆1的缩短量为?l1，而杆2、3的伸长量为?l2、?l3。取横梁AB为分离体，如图c，其上除荷载G外，还有轴力N1、N2、N3以及X。由于假设1杆缩短，2、3杆伸长，故应将N1设为压力，而N2、N3设为拉力。
(1) 平衡方程
????Y?0,?N1?N2?N3?G?0???N1?2a?N2?a?0?? （a） ?mB?0,三个平衡方程中包含四个未知力，故为一次超静定问题。
(2) 变形几何方程 由变形关系图2-8b可看出B1B?＝2C1C?，即 ?l3??l1?2(?l2??l1)， 或
??l1??l3?2?l2 (b)
?X?0,X?0(3) 物理方程
?l1?N1lNlNl , ?l2?2 , ?l3?3EAEAEA (c)
将(c)式代入(b)式，然后与(a)式联立求解，可得
N1?G/6 , N2?G/3 , N3?5G/6
解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力，要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据，两者之间必须一致。经计算三杆的轴力均为正，说明正如
变形关系图中所设，杆2、3伸长，而杆1缩短。 例6．2：试解图所示的超静定梁。
解：（1）选择静定基：
以B点约束作为多余约束，将其除去，代之以约束反力RB，称之为静定基，如图8-6(b)。 (2) 变形协调条件：
多余约束B处梁的挠度应有: vB＝0。 (3)利用叠加法求vB 。 对应图 (b)应有：
vBR＋vBP＝0 (a)
查表得
vBRvBP将vBR、vBP代入式（a）
RBl3??3EI（↓），
2P?l??l?5Pl3?????3l???6EI?2??2?48EI（↑）
YBl35Pl3???03EI48EI
解出
RB?5P16
解题指导：用变形比较法求解超静定梁，可以选择不同的静定基，以便于求解为准。例如此例也可以选择A端的转角约束作为多余约束，其静定基如图8-7所示。
【实战训练】
6－1 图示一阶梯形杆，上端固定，下端与刚性底面留有空隙?＝0.08mm ，A1＝4000mm2 ，E1＝100GPa ，A2＝2000mm2 ，E2＝200GPa 。在两段交界处，受向下的轴向荷载FP ，问： （1）FP力等于多少时，下端的空隙恰好消失？ （2）当FP＝500kN时，各段内的应力值为多少？
答案：（1）FP＝32kN ；（2）?（1）＝86MPa，?（2）＝78MPa。
6－2 两根材料不同但截面尺寸相同的杆件，同时固定联接于两端的刚性板上，且E1>E2 。若要使两杆都发生均匀拉伸，试求拉力FP的偏心距e 。
答案： e＝b（E1－E2）/?2（E1＋E2）?。
6－3 图示一阶梯形杆AB，其两端部分的横截面积为A1＝500mm2 ，中间部分的横截面积为A2＝1000mm2 ，试确定当轴向荷载FP＝250kN时，在杆的中间部分的应力。若已知该杆材料的线胀系数? ＝20×10－6 1/ 0C ，弹性模量E＝1000GPa 。问要使杆中间部分的应力恰好为零时，需要使杆的温度降低多少度？
答案： ?中＝143MPa，降低?t＝100C。
6－4 铜杆1、2、3的面积A＝200mm2 ，长度l＝1m ，弹性模量E＝200GPa ，若在制造时杆3短了?＝0.8mm ，试计算安装后杆1、2、3中的内力。
答案： FN1＝FN3＝5.33kN（拉） ，FN2＝10.67kN（压）。
6－5 图示结构1、2杆的抗拉刚度E1A1＝E2A2 ，3杆的抗拉刚度E3A3 ，3杆由于制造误差短了? ，试求1、2、3杆的装配内力。
答案： FN1＝FN2＝E3A3? / l?2cos?＋（E3A3 / E1A1cos2?）?（压） FN3＝E3A3? / l?1＋（E3A3 / 2E1A1cos3?）?（拉）