11.【解题指南】本题对n进行讨论.在不同的n值下利用诱导公式进行化简.
【解析】(1)当n＝2k，k∈Z时，
sin(α＋2kπ)＋sin(α－2kπ)2原式＝＝sin(α＋2kπ)cos(α－2kπ)cosα(2)当n＝2k＋1，k∈Z时，原式
sin[α＋(2k＋1)π]＋sin[α－(2k＋1)π]2＝＝－sin[α＋(2k＋1)π]cos[α－(2k＋1)π]cosα【方法技巧】诱导公式中的分类讨论
(1)在利用诱导公式进行化简时经常遇到nπ＋α这种形式的三角函数，因为n没有说明是偶数还是奇数，所以必须把n分奇数和偶数两种类型加以讨论.
(2)有时利用角所在的象限讨论.不同的象限角的三角函数值符号不一样，诱导公式的应用和化简的方式也不一样. 12k＋1【变式备选】若sinα＝，则cos(π＋α)＋
322k－1
π－α)(k∈Z)＝ .
2
ππ
【解析】原式＝cos(kπ＋)＋cos(kπ－)，
22
ππ2
当k为偶数时，原式＝cos(＋α)＋cos()＝－2sinα＝－
223ππ2
当k为奇数时，原式＝－cos(＋α)－cos()＝2sinα＝
2232
.
3