二○○二年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设
6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各
题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次
评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。 三、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=log1(x2 2x 3)的单调递增区间是
2
(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x2-2x-3>0 x<-1或x>3，令f(x)=log1u, u= x2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y满足(x+5)+(y 12)=14，则x+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 解：B 3、 函数f(x)=
2
2
2
22
(D) 2
xx
x
21 2
(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数
(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A
xyx2y2
1相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点4、 直线 1椭圆
43169
P共有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P1(4cos ,3sin ) (0< < S=S OAP1
)，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB的面积S。 211
S OBP1= 4 3sin 3 4cos =6(sin +cos )=62sin( )
2
2
4
∴Smax=62 ∵S⊿OAB=6
∴(S P1AB)max 62 6
∵62 6<3
∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B
5、 已知两个实数集合A={a1, a2, , a100}与B={b1, b2, , b50}，
若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1) f(a2) f(a100)，则这样的映射共有
50504949(A) C100 (B) C90 (C) C100 (D) C99
解：不妨设b1<b2< <b50，将A中元素a1, a2, , a100按顺序分为非空的50组，定义映射f：A→B，使得第i组的元素在f之下的象都是bi (i=1,2, ,50)，易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分
4949
法数为C99，则这样的映射共有C99，故选D。
6、 由曲线x2=4y, x2= 4y, x=4, x= 4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2 16,
x2+(y-2)2 4, x2+(y+2)2 4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则
(A) V1=
12
V2 (B) V1=V2 23
(C) V1=V2 (D) V1=2V2
解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴