2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
x2－2
1．设全集是实数，若A={xx－2 0}，B={x|10=10x}，则A∩ RB是( ) (A){2} (B){ 1} (C){x|x 2} (D) 解：A={2}，B={2，－1}，故选D．
ααα
2．设sin ＞0，cos ＜0，且sin＞，则的取值范围是( )
333
ππ2kππ2kππ
(A)(2k +2k +， k Z (B)( + +)，k Z
6336335πππ5π
(C)(2k +，2k + )，k Z (D)(2k +，2k +)∪(2k +，2k + )，k Z
6436
πα2kππ2kππ
解：满足sin ＞0，cos ＜0的α的范围是(2k +，2k +π)，于是(+，)，
233633
αααπ5πππ5π
满足sincos(2k +2k +)．故所求范围是(2k +2k +)∪(2k +2k + )，33344436k Z．选D．
3．已知点A为双曲线x2 y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
333
(A) (B) (C3 (D3
323
解：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，3)，
3
∴ S=33．选C． 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q
是等差数列，则一元二次方程bx2 2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
2p+qp+2q
解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=
33
112
△=a2－bc=pq－p+q)(p+2q)=－p－q)2<0．选A． 499
54
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=的距离中的最小值是( )
35
343411(A) (B) (C) (D)
170852030
|25x－15y+12||5(5x－3y+2)+2|
解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==．
534534
∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2| 2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．
ππ
6．设ω=cos+isin，则以 ， 3， 7， 9为根的方程是( )
55
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4 x3+x2 x+1=0 (C) x4 x3 x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2 x 1=0
解：ω5+1=0，故 ， 3， 7， 9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选B． 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000 )=__________.
π
解：2000°=180°³12－160°．故填－20°或－．
9
n
32333n
2．设an是(3x)的展开式中x项的系数(n=2，3，4， )，则lim
(++ +))=________.
an n→∞a2a3