d 11
单元内有：εx=——单元应变矩阵 N {d}= B {d}， B = ds LL
所以一个单元内的应变能为：
L
U=∫
或者U=
121LT1TLT
εxAds=∫εxAEεxds={d} ∫ B AE B ds {d}
0 2202
1T1 1
{d}[k]{d}，[k]=AE ——杆单元刚度矩阵 2 11L
这里由于三个单元的几何和物理特性完全相同，其单元刚度矩阵相同。 杆上载荷与上节例题相同，q
=cx。则载荷在三个单元内分别表达为：
q=cs
，
q=c(L+s)， q=c(2L+s)
cL2T 1
{d} N csds=d}
6 2
T
T
代入外力功积分式，对三个单元分别计算外力功。第一个单元外力功为：
∫
L
quds=∫uqds=∫
L
T
L
第2、3单元外力功分别为：
7 cL2cL2T 4
{d} 和 {d}T 66 5 8
总势能是三个单元总应变能减去三个单元外力功。为了能够以矩阵形式相加，将单元势能矩阵表达式中的单元节点位移列阵{d}用结构整体位移向量{D}=[u1
u2u3
u4]代
T
替，单元刚度矩阵[k]等与单元有关的矩（列）阵扩展成结构整体规模（4×4），则相加后系统总势能表达为：
1T AEΠp={D}
L2
2
T cL {D}
6
1 1 11
00
00
0000
0 000
01 10 AE +
0 L 0 11
0 000 0 0 7
8
0 0
00 AE +
0 L 0
0 0
000
000 {D}
01 1
0 11
1
2
cL2 + 0 6 0 0
4
cL2 + 5 6 0
上述表达形式上的变换，不改变总势能的大小！ 上式简写为：
Πp=
1
{D}T[K]{D} {D}T{R} 2