习题 一
1．?略.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：?
（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；? （3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；? （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；? （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.?
【解】（1） A
BC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=
ABC∪ABC∪A
BC∪ABC∪
A
BC∪ABC∪ABC=ABC
(5)
ABC=A?B?C (6) ABC
(7)
ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪
ABC=ABC=A∪B∪C
(8) AB∪BC∪CA=AB
C∪ABC∪ABC∪ABC
3.?略.见教材习题参考答案?
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.
?
【解】 P（
AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：? （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？? （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？?
【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P
（AB）=P（BC）=0，?P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一
事件发生的概率.?
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
1114+4+3?112=34
7.?从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张
方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p=
C5C3321313C13C13/C1352
8.?对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A111）=5 75=（
7）（亦可用独立性求解，
下同）
（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，
故
（A65P2）=
75=(
67)5
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A13）=1?P(A1)=1?(
7)5
9.?略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n 求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：? （1） n件是同时取出的； （2） n件是无放回逐件取出的；? （3） n件是有放回逐件取出的.? 【解】（1） P（A）= Cmn?mnMCN?M/CN (2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有 PnN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中 取m件的排列数有 PmM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为 Pn?mN?M种，故 mn?P（A）= CmPmnPMN?MPn N1 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 P（A）= Cmn?mMCN?MCn N可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能 的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为 Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次 取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 P(A)?CmMm(N?M)n?m/Nnn 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为 MN，则取得m件正品的概率为 P(A)?Cm?M?m?M?n?mn??N????1?N?? 11.?略.见教材习题参考答案. 12.? 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太 弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} P(A)?C1C33103/C50?11960 13.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球， 从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. P(A)?C2C14318P(A)?C3442C3?,3735C3? 735故 P(A222?A3)?P(A2)?P(A3)?35 14.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随 机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1） pC2113151?5(2)2(2)2?32 (2) C1(1)(1)31p42?2245/32?25 16.?甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投 了3次，求二人进球数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 P(?3A?(0.3)3(0.4)3?C121(0.4)2iBi3)30.7?(0.3)C30.6??i?0 2 22C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3 =0.32076 17．?从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【 4512112241012解】 p?1?CCCCC13? C2118.?某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}. （1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.52 ） （ p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 19.?已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男 孩的概率（小孩为男为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为2=8，故 3 题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半 小时以上”等价于|x?y|>30.如图阴影部分所示. P(AB)6/86P(BA)??? P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA)?6 73021P?2? 60422.?从（0，1）中随机地取两个数，求： 20.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此 人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率. 4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0 P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) 6. 5?0.5?0.0520? 0.5?0.05?0.5?0.00252121.?两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 144255?17?0.68 p1?1?1251(2) xy=<. 4 1?1?11p2?1???1dx?1dy???ln2 4x?4?42 3 23.?设P（【 A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 解 】 P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) P(AB)P(A)?P(AB) P(BA?B)??P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB) ?0.8?0.14??0.3077 0.8?0.1?0.2?0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. ?0.7?0.51? 0.7?0.6?0.5426. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收 作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B} C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得 24.?在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛 中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二 次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有 P(B)??P(BAi)P(Ai) i?03P(AC)?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA) 31232132/3?30.983C3CCCCCCCCC6??0.99492 79?36?39?936?38?9362???/3?0.98?1/3?0.01333C15C15C15C15C27.C15C15C1515?在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现 ?0.089 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试 及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）? 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai） = 1,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 3【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则 A={被调查学生是不努 P(BA1)P(A1)P(A1B) P(A1B)??2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（ A）=0.2，又设B={被调 ?查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|故由贝叶斯公式知 （ 1 A）=0.9， ） 2/3?1/31? 1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.?某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被 误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) P(AB)??0.2?0.11??0.02702 0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.96?0.98?0.998 0.96?0.98?0.04?0.0529.?某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失 4 的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}， C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得 因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立. 33.?三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 11，，53P(A|D)? P(AD)P(A)P(D|A)?【解】 设Ai={第 i人能破译}（i=1,2,3），则 P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)3P(D|C)P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) i?114，求将此密码破译出的概率. ?0.2?0.05?0.057 0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 423?1????0.6 53430.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的34.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4) i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) P(A)??P(A|Bi)P(Bi) i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4× 0.5×0.7 =0.458 35.?已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效， ?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.?设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才 能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击. 1?(0.8)?0.9 即为 n把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： (0.8)n?0.1 （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. kp1??C10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138 k?03故 n≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.?证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立. 【解】（1） 【证】 P(A|?B)即A|P(B)(2) kp2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241 k?410P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即 36.?一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层. 试求下列事件的概率： P(AB)P(B)?P(AB)P(B) （1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”； （2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”. P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B) 5