1122P(X?)?F()?,(2) 由分布律的性质知
2235NNa3334341??P(X?k)???a P(1?X?)?F()?F(1)???0223535k?1k?1N 3312即 a?1. P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?22355.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.（1） 两人投中次数相等的概率;
35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
P(X?0)?(0.2)3?0.008P(X?1)?C1230.8(0.2)?0.096P(X?2)?C2(0.8)20.2?0.384
3P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数
??0,x?00.008,0?x?1F(x)????0.104,1?x?2
??0.488,2?x?3??1,x?3P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896
4.（1） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a?kk!，
其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知
??1??P(X?k)?a??kk?0k?0k!?a?e?
故
a?e??
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1)
P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?P(X?3,Y?3)
?(0.4)3(0.3)3?C121230.6(0.4)C30.7(0.3)+
C20.4C23(0.6)23(0.7)20.3?(0.6)3(0.7)3
?0.32076
(2)
P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?
P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)
?C12322330.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)?
(0.6)3(0.3)3?C23(0.6)20.4C130.7(0.3(0.6)3C1232230.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机
场需配备N条跑道，则有
P(X?N)?0.01
即
11
k(0.98)200?k?0.01
k??200Ck200(0.02)N?1利用泊松近似
??np?200?0.02?4. ?P(X?N)?k?e?44k?N?1k!?0.01
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)
?1?e?0.1?0.1?e?0.1
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
C1p(1?p)4?C2p255(1?p)3
故 p?
13
所
以 P(X?4)?C4142105(3)3?243.
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
5P(X?3)??Ckk5(0.3)k(0.7)5??0.16308
k?3(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
7P(Y?3)??Ckk?k7(0.3)(0.7)7?0.35293
k?310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参
数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】（1）
P(X?0)?e?32 (2)
P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?52
11.设P{X=k}=Ck2pk(1?p)2?k, k=0,1,2
P{Y=m}=Cm4pm(1?p)4?m, m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=59，试求P{Y≥1}. 【解】因为P(X?1)?59，故P(X?1)?49. 而
P(X?1)?P(X?0)?(1?p)2
故得
(1?p)2?49, 即
p?13.
从
而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)4?6581?0.8024712.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，
试求在这 2000 册书中恰有 5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
??np?2000?0.001?2
得
e?225P(X?5)?5!?0.0018
13.进行某种试验，成功的概率为
34，失败的概率为
14.以X表示试
验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】
X?1,2,?,k,? P(X?k)?(1)k?1344
P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??
12
?14?34?(14)334???(14)2k?134?? 1?3?414? 1?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.
在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为
P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
14P(X?15)?1??e?55k?0.000069
k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000)
?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)
??10e?55kk?0k!?0.986305
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上? P
（
保
险
公
司
获
利
不
少
于
20000
）
?P(30000?2000X?20000)?P(X?5)
5e?55k???0.615961
k?0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%? 15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae?|x|, ?∞ 求：（1）A值；（2）P{0 ?【解】（1） 由 ???f(x)dx?1得 1????|x??Ae|dx?2??Ae?x0dx?2A 故 A?12. (2) p(0?X?1)?11?2?0exdx?12(1?e?1) x(3) 当x<0时，F(x)??1??2exdx?12ex 当 x≥0时， F(x)??x1e?|x|dx??01exdx??x102e?x??2??2dx ?1?1?x2e ?x?0故 F(x)??1x?e,?2 ?1?12e?x??x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 ?f(x)=?100?2,x?100, ?x?0,x?100.求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】 （1） P(X?150)??150100100x2dx?13. p?[P(X?150)]3?(2813)3?27 (2) pC112242?33(3)?9 (3) 当x<100时F（x）=0 x当x≥100时F(x)????f(t)dt x ??100??f(t)dt??100f(t)dt ??x100100100t2dt?1?x ?100故 F(x)???1?,x?100 ?x?0,x?017.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设 这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正 13 比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为 ?1f(x)???,0?x?a ?a?0,其他故当x<0时F（x）=0 当 0 ≤ x≤ a时 F(x)??xxx1??f(t)dt??0f(t)dt??0adt?xa 当x>a时，F（x）=1 即分布函数 ??0,x?0F(x)???x,0?x?a ?a??1,x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测， 求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 ?f(x)??1?,2?x?5 ?3?0,其他P(X?3)??51233dx?3 故所求概率为 p?C222123203(3)3?C33(3)?27 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分 布E(15).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E(15)，即其密度函数为 ?xf(x)??1?e?5,x?0 ?5?0,x?0该顾客未等到服务而离开的概率为 P(X?10)???1?x105e5dx?e?2 Y~b(5,e?2),即其分布律为 P(Y?k)?Ck?225(e)k(1?e?)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?0.5167 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通 拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞 少，所需时间X服从N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则 P(X?60)?P??x?40?10?60?40?10????(2)?0.97727 若走第二条路，X~N（50，42），则 P(X?60)?P??X?5060?50??4?4????(2.5)?0.9938++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N（40，102），则 P(X?45)?P??X?4045?40??10?10????(0.5)?0.6915若X~N（50，42），则 P(X?45)?P??X?50?4?45?50?4????(?1.25) ?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22）， （1） 求P{2 解 】 （ 1 ） P(2?X?5)?P??2?3X?35?3??2?2?2?? ??(1)????1??1???2????(1)?1????2?? ?0.8413?1?0.6915?0.532814 P(?4?X?10)?P???4?3?2?X?310?3?2?2?? F（x）=??A?Be?xt,x?0,(???0,x?0.0), （1） 求常数A，B； （2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； ????7??7??2???????2???0.9996 （3） 求分布密度f（x）. ?limF(x)?1P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)【解】（1）由? ?x????A?1??xlim?0?F(x)?得? xlim?0?F(x)?B??1 （2） P(X?2)?F(2)?1?e?2? ?P??X?32?3??X?3?2?3??2?2???P??2?2?? ?1????P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3? ??1?2????????5?2??????1??2???1????5??2?? ?0.6915?1?0.9938?0.6977(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?0P(X?3)?P(X?3?0,x?0 2?3-32)?1??(0)?0.5 25.设随机变量X的概率密度为 (2) c=3 ?0?x?1,22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062 ）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. f（x）=?x,?2?x,1?x?2, ?【 解 】 ?0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）. P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.05【解】当x<0时F（x）=0 ?0.06?0.12?0.06? ?当 0 ≤ x<1 F(x)?x)dt?0x?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]???f(t???f(t)dt??0f(t)dt ?0.0456 ?x 23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2）， ?0tdt?x22 若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【 解 】 当1≤x<2时F(x)??x??f(t)dt P(120?X?200)?P??120?160???X?160??200?160?????? 0??f(t)dt??10f(t)dt??x1f(t)dt ??1tdt??x01(2?t)dt????40???????40???2???40?? ??????????1?0.8 ?1x22?2x?2?32故 x2????402?2x?11.29?31.25 24.设随机变量X分布函数为 当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1 故 时 15