9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??e?y,0?x?y,?0,其他.
求边缘概率密度. 【解】
fX(x)??????f(x,y)dy
=? ????y?x
??xedy??e,x?0, ???0,?0,其他.f??Y(y)????f(x,y)dx
y?y
=????edx????ye?x0,y?0,?0,?0,其他.
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,
?0,其他.（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度.
????【解】（1）
??????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D
=?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1.
得?c?214.
(2)
fX(x)??????f(x,y)dy
?????121x2ydy??21x2(1?x4x2),?1?x?1, ?4??8?0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?????y21x2ydx???75?yy2,0?y?1, ?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题11图
??【解】
fX(x)????f(x,y)dy
x
??????x1dy?2x,0?x?1, ??0,其他.?1???y1dx?1?y,?1?y?0,fY(y)??????f(x,y)dx?????11dx?1?y,0?y?1,?y?其他?0,.?所以
fx)?f(x,y)??1,|y|?x?1,Y|X(y|f(x)???2x X?0,其他.
??11?y, y?x?1,fy)?f(x,y)??1X|Y(x|f)??,?y?x?1,
Y(y?1?y??0,其他.?12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中
最小的号码为X，最大的号码为Y.
26
（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 1??e?y/2,fY（y）=?2??0,（1）求X和Y的联合概率密度；
5 y?0, 其他.X 1 Y 3 4 P{X?xi}
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
6112233 10???C310C310C3105550 【解】（1） 因
?1,0?x?1, fX(x)???0,其他;?2 31122 10??C310C310550 y?1?2?e,y?1, fY(y)???2?0,其他.?3 0 111 ? 102C5106 10 故
1P{Y?yi} 10
(2)
3 10?1?y/2?ef(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,因
0?x?1,y?0,其他.
P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立?
6161????P{X?1,Y?3}, 101010010
题14图
(2) 方程a213.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 ?2Xa?Y?0有实根的条件是
??(2X)2?4Y?0
故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：
（1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表? 0.4 0.8 Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy
P{X?xi} (2)
因
P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4),
故X与Y不独立.?
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1?y/2edy002?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X
和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
?1000?,x?1000,f（x）=?x2
?其他.?0,27
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)X?z} Y分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），
从而
?0
P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?18（2） 当0 1000z）(如图a) FZ(z)???106x2y2dxdy????yz106103dy?322dx y?xz10xyz?? =???103106?z1032?3?dz?yzyy?2 ? 题15图 (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） F106Z(z)???x2y2dxdy????zy106103dy10y?x?3x2y2dx z =????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z 即 ??1?12z,z?1,?f?zZ(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.?故 ??12z2,z?1,?f(z)???1Z,0?z?1, ?2?其他?0,.? P{X3?180}?P{X4?180} ?[1?P{X1?180}]?[1?P{X2?180}]?[1?P{X3?180}]?[1? ?[1?P{X??180?160??41?180}]4???1????20???? ?[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 iP{Z=i}= ?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，…. k?0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数， 所以 {Z?i}?{X?Y?i} ?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0} 于是 iP{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立k?0?iP{X?k}?P{Y?i?k} k?0i ??p(k)q(i?k) k?018.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分 布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布. 28 【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n. kP{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i} i?0 k??P(X?i)?P{Y?k?i}i?0k???n?in?i?n?k?in?k?i?0??i??pq??k?i??pqik???i?0?n???i??n? ??k?i??pkq2n?k???2n??pkq2n?k?k?方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 0 1 2 3 Y X 4 5 0 0 0.01 0.03 0.05 1 0.07 0.09 2 0.01 0.02 0.04 0.05 3 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}P{Y?2} ?P{X?2,Y?2}?0.05?5P{X?i,Y?2}0.25?12, i?0 P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0}P{X?0} ?P{X?0,Y?3}0.01?3?P{X?0,Y?j}0.03?13; j?0（ 2 ） P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y i?1i??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, k?0k?0i?0,1,2,3,4,5 所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3) P{U?i}?P{min(X,Y)?i} ?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}35??P{X?i,Y?k}?P{X?k,Y?i} k?ik??i?1i?0,1,2,3, 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有 W=X+0 1 2 3 4 5 6 7 8 Y P 0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 6 3 9 4 9 2 5 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}. 29 e2【解】区域D的面积为 的联合密度函数为 S0??11dx?lnxxe21?2.（X,Y） 题20图 【解】因（X，Y）的联合概率密度为 1?12?,1?x?e,0?y?,f(x,y)??2x ??0,其他.（X，Y）关于X的边缘密度函数为 ?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,P{Y?0,Y?X}（1）P{Y?0|Y?X}? P{Y?X}1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以 1fX(2)?. 422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联 合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. ?y?0y?x??f(x,y)d???f(x,y)d?π X x1 x2 P{Y=yj}=pj Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 P{X=xi}=pi y?x (2) 1?π/40πR2rdr ?5πR1?π4/4d??0πR2rdr3/83??; 1/24d??R1 【解】因P{Y?yj}?Pj??P{X?xi,Y?yj}, i?12故 P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0} P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1}, ?1?P{X?0,Y?0}?1???f(x,y)d??1?x?0y?013?. 44从而P{X而 X ?x1,Y?y1}?与 Y 111??. 6824独 立 ， 故 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？ P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi}, 从 而 P{X?x1}?11?P{X?x,Y?y}?. 624111/?. 即：P{X?x1}?2464又 题21图 P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?即 111???P{X?x1,Y?y3}, 424830