【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
（1） P(A)?C2469106，也可由6重贝努里模型：
P(A)?C2(1294610)(10)
（2） 6个人在十层中任意六层离开，故
6P(B)?P10106
（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有
C110种可能结果，
再从六人中选二人在该层离开，有C26种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有
C1319C4C8种可能结果；②4
人同时离开，有
C19种可能结果；③4个人都不在同一层离开，
有P49种可能结果，故
P(C)?C1213114610C6(C9C4C8?C9?P9)/10 （4） D=B.故
6P(D)?1?P(B)?1?P10106
37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1）
p11?n?1
(2)
p3!(n?3)!2?(n?1)!,n?3
(3)
p(n?1)!n!?1n;p?3!(n?2)!1??2?n!,n?3
38.?将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率?
【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由
0
??0?x?a?2?0?y?a??2 ?a??2?x?y?a如图阴影部分所示，故所求概率为
p?14. 39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开
（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.
k?1【证】
p?Pn?1P?1k,k?1,2,?,n
nn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立
方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.?
【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是
三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱
上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为
P(A5120)?1000?0.512,P(A3841)?1000?0.384,
P(A9682)?1000?0.096,P(A4)?1000?0.008.
41.对任意的随机事件A，B，C，试证?
P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).?
【
证
】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC)
?P(AB)?P(AC)?P(ABC)
6
?P(AB)?P(AC)?P(BC)
42.?将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设
Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故
3P(A1)?C43!43?38 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故
1P(A43)?C43?116 因
此 P(A)?1?P(A31921)?P(A3)?1?8?16?16
或
?C121P(A4C3C392)43?16 43.?将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正
面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以
P(A)?1?P(C)2
由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
P(C)?Cn1n1n2n(2)(2)
故 P(A)?1n12[1?C2n22n]
44.?掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正
面次数}，由对称性知P（A）=P（B）
（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P
（B）=1得P（A）=P（B）=0.5
(2) 当n为偶数时，由上题知
nP(A)?1[1?C212n(2)n]
45.?设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有
（甲正>乙正）=（甲正
≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）
=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=
12
46.?证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|
C)
≥P(B|
C)，则P（A）≥P(B).
【证】 由P（A|C）≥P(B|C),得
P(AC)P(BCP(C)?)P(C),
即有
P(AC)?P(BC)
同理由
P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),
故
P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B)
47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.
求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.? 【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则
P(A(n?1)k1ki)?nk?(1?n)P(A2iAj)?(1?n)k ?P(AAn?1ki1i2?Ain?1)?(1?n)其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是
7
nS?P(An(1?1)k?C1(1?1)k1?i)?i?1nnnS?P(A)?C22k2?iAjn(1?)1?i?j?nn?
Sn?1?1?i?P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn?1(1?n?1n1?i2??in?1?nn)kSn?0P(?ni?1Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sn ?C11k2kn(1?n)?C2n(1?n)???(?1)nCn?1n(1?n?1kn) 故所求概率为
1?P(?ni?1A1k22ii)?1?C1n(1?n)?Cn(1?n)???(?1)n?1Cn?1n?1kn(1?n) 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0
如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.? 【证】
在前n次试验中，A至少出现一次的概率为
1?(1??)n?1(n??)
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国
徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知
P(B)?mm?n,P(B)?nm?n
P(A|B)?12r,P(A|B)?1 则由贝叶斯公式知
P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
m?mm??1rm?1n2n?2rn m?n2r?m?n?1m?50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒
有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一
根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？?
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有
P(B1)?P(B12)?2.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为
pn1n1n?rr(2)(2)?12?Cn11?2C2n?n?r22r?r
式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）. （2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自
B2盒，第2n?r次取自B1盒，故概率为
pn?11n?11n?r1n?112n?r?12?2C2n?r?1(2)(2)2?C2n?r?1(2) 51.?求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
(q?p)n?C0p0qn?C1n?1?C22n?2nn0nnpqnpq???Cnpq?1
(q?p)n?C0p0qn?C1n?12qn?2npq?C2np???(?1)nCnn0nnpq以上两式相减得所求概率为
pn?133n?31?C1npq?Cnpq?? ?12[1?(q?p)n] ?1[1?(1?2p)n2] 若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
p12?2[1?(1?2p)n].
52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（
A+B）（A+B）（A+B）
（A+B）}的值.
【解】因为（A∪B）∩（
A∪B）=AB∪AB
8
（
所
A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB
（舍去）
即P（A）=.
求 3
55.随机地向半圆0 2(A?B)(A?B)(A?B)(A?B) ? 2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落 在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？? 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为 ?[(AB?AB)?(AB?AB)] 故所求值为0. 53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：? ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【 解 】 由 ?? 12πa2.阴影部分面积为 π212a?a 42故所求概率为 π212a?a11P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?Pp(ABC?4) 2?? 122ππa922 ?3P(A)?3[P(A)]? 56.?设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件16产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 1311故P(A)?或,按题设P（A）<,故P（A）=. 【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不 发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）. 【 解 】 格品} P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1 ① 9C242C10P(AB)1 P(B|A)???2CP(A)51-26C10生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表， P(AB)?P(AB)② 故 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女 从中先后抽出两份.? （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；? （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表 的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2. P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) 故 P(A)?P(B) ③ 由A,B的独立性，及①、③式有 1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)]2 ?[1?P(A)]2 1?P(A)??1 31P(Ai)?,i?1,2,3 3375P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)? 101525则 (1) 137529 p?P(B1)??P(B1|Ai)?(??)?310152590i?1(2) 3故 故 24P(A)?或P(A)?33q?P(B1|B2)?P(B1B2) P(B2)9 3而 P(B2)??P(B2|Ai)P(Ai) i?1 ?13(710?8206115?25)?90 3P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai) i?1 ?1377853(10?9?15?14?25?2024)?29 故 2q?P(B1B2)P(B?92061 2)61?9058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考) 解 ： 因 为 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B) 所 以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A). 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只， 以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 X?3,4,5P(X?3)?1C3?0.15P(X?4)?3C3?0.3 5P(X?5)?C24C3?0.65故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3) P{X?1332},P{1?X?2},P{1?X?2},P{1?X?2}. 【解】 X?0,1,2.P(X?0)?C31322C3?.1535P(X?1)?C122C1312 C3?.1535P(X?2)?C1131 C3?.1535故X的分布律为 X 0 1 2 P 22 1213535 35 （2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0 当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 2235 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 ??0,x?0?22,0?x?1F(x)???35 ?34?,1?x?2?35?1,x?2(3) 10