下面
1?x2讨论独立性，当|x|≤1时，
X Y ??1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 fX(x)?1?1?x212dy?1?x2. ππ??1 0 1 . 当|y|≤1时，fY(y)1?1?y2?1?y212dx?1?y2ππ验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律
显然
f(x)?f(x,y).
易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表
XY(y)?f故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X ??1 0 1 P 3238 8 8 Y ??1 0 1 P 328 8 38 XY ??1 0 1 P 28 48 28 36
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又
19.设（X，Y）的概率密度为
?XY?Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?13611?1818??1 2331P{X??1}?P{Y??1}????P{X??1,Y??1}
888从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三
角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD=
ππ?1?sin(x?y),0?x?,0?y?,f（x，y）=?222
?其他.?0,求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.
解
??12【
，故（X，Y）的概率密度为
】
π/2E(X)??
???????xf(x,y)dxdy??π200dx?π/201x?sin(x?y)dy?2E(X)??dx?
题18图
从而
2π201π2πx?sin(x?y)dy???2.
2822?2,(x,y)?D, f(x,y)??0,其他.?E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D22111?xπ2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2.
16222同理
1x?2dy?
312xdy?
62ππ2πE(Y)?,D(Y)???2.
4162又
π/2π/2E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D1?xE(XY)??故
0dx?0πxysin(x?y)dxdy??1,
2从而
21?1?1D(X)?E(X2)?[E(X)]2?????.
6?3?18同理E(Y)?π?ππ?π?CovX(Y,?)EX(Y?)E(X?)EY(??)???1????244???2?π?4????22Cov(X,Y)(π?4)π?4??而 ?XY??2??2??2π?8π?32π?D(X)?D(Y)ππ??211?x1162E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?2xydy?.
0012DD?11?所以 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为??，试求Z1=X??2Y
14??1111Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?????123336和Z2=2X??Y的相关系数.
.
从
【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
而 从而
11?,D(Y)?. 318 37
D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,品是次品的概率.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件
次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，
D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产
Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)
【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为
k?kC3?C33P{Z?k}?C36?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y)
?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5.,
k?0,1,2,3.
故
?Cov(Z1,Z2)55Z1Z2?D(Z??13.
1)?D(Z2)13?42621.对于两个随机变量V，W，若E（V2
），E（W2
）存在，证明：
［E（VW）］2
≤E（V2
）E（W2
）.
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式. 【证】令
g(t)?E{[V?tW]2},t?R.
显然
0?g(t)?E[(V?tW)2]?E[V2?2tVW?t2W2]
?E[V2]?2t?E[VW]?t2?E[W2],?t?R.
可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2)
?4{[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.
故[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.
设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生
故障的等待时间X~E(λ),E(X)=1?=5.
依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5.
Z=k 0 1 2 3 Pk 1920 920 12020 因
此
，
E(Z??12???)????90
02(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概
率公式有
3P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k}
k?0
?120?0?919213120?6?20?6?20?6?4. 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），
内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系
?若X?10T=??1,,?20,若10?X?12, ???5,若X?12.问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
【
解
】
E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12}
??P{X?u?10?u}?20P{10?u?X?u?12?u}?5P{X???(10?u)?20[?(12?u)??(10?u)]?5[1??(12?u)]?25?(12?u)?21?(10?u)?5.故
dE(T)du?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1) 令 0(这里?得
38
25e?(12?u)2/2?21e?(10?u)2/2当t≥0时，利用卷积公式得
?
两边取对数有
fT(t)??故得
????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?x)dx?25te?5t0t
11ln25?(12?u)2?ln21?(10?u)2.
22解
得
?25te?5t,t?0, f(t)??u?11?12ln2521?11?12ln1.19?10.9128(毫米)?
由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为
?f(x)=?1?cosx,0?x?π,?22 ?0,其他.对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.
（2002研考）
?π?1,X?,【解】令 Y?3i??(i?1,2,3,4)
??0,X?π?3.4则Y??Yi~B(4,p).因为
i?1p?P{X?π3}?1?P{X?π3}及
P{X?ππ/313}??02cosx12dx?2,
所以E(Y11i)?2,D(Y4Y)?4?1i)?,E(2?2, D(Y)?4?12?12?1?E(Y2)?(EY)2,
从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5.
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为
5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：
f(t)???5e?5t,t?0,i?0,t?0.
因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0;
T?0,t?0.由于T1i ~E(5),故知E(Ti)=
5,D(T)=1i25?(i=1,2) 因此，有E(T)=E(T21+T2)=5.
又因TT21,2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=25.
27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正
态分布，求随机变量|X??Y|的方差.
【
解
】
设
Z=X??Y
，
由
于
X~N???1?2??0,?????1?2??2???,Y~N?0,?????2????, ?且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. 因
D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2
?E(Z2)?[E(Z)]2,
而
E(Z2)?D(Z)?1,E(|Z|)????|z|1???2πez2/2dz
?2???z2/22π?0zedz?2π，
所以
D(|X?Y|)?1?2π. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）. 【解】记q=1??p,X的概率分布为P{X=i}=qi??1p,i=1,2,…， 故 ?E(X)??iqi?1?p?p(?qi)??p?i?1i?1?q???1?q???p(1?q)2?1p. 又 39 E(X2)??i2qi?1p??(i2?i)qi?1p??iqi?1p i?1i?2i?1???于是 D(U)?D(X?Y)?1121???. 18183618 ?q2???11i?pq(?q)????pq???pp i?2?1?q?2pq11?q2?p???2?2.(1?q)3ppp?30.设随机变量U在区间[??2,2]上服从均匀分布，随机变量 X=???1,若U?1，??1,若U??1， Y=? 1,若U?1.1,若U??1，??试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）. 所以 【解】 （1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可 能取值(??1,??1),(??1,1),(1,??1)及(1,1)的概率. P{x=??1,Y=??1}=P{U≤??1,U≤1} ?1dxdx1?P{U??1}????? ??4?244P{X=??1,Y=1}=P{U≤??1,U>1}=P{?}=0, ?12?p11?pD(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?2?2. pppP{X=1,Y=??1}=P{U>??1,U≤1} 题29图 29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶 点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)·E(Y)]. 由条件知X和Y的联合密度为 ?P{?1?U?1}??dx1? ?144121P{X?1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{U?1}?. 故得X与Y的联合概率分布为 dx1?44?2,(x,y)?G, f(x,y)??0,t?0.?G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1,x?y?1}. 从而 ?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)??. (X,Y)~?111??0?424?(2) 因 D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2, 而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为 ??202??0X?Y~?111?, (X?Y)2~?1因此 ????424??211131223E(X)??xfX(x)dx??2xdx?,E(X)??2xdx?, 0001122?0, 从而E(X?Y)?(?2)??2?14144D(X)?E(X2)?[E(X)]2???. 1129182?2, E[(X?Y)]?0??4?3122,D(Y)?. 同理可得 E(Y)?所218fX(x)??????f(x,y)dy??2dy?2x. 1?x14?. 1??2?以 5E(XY)???2xydxdy?2?xdx?ydy?, 01?x12G11D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?2. 31.设随机变量X的概率密度为f(x)= (1) 求E（X）及D（X）； 541Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)????, 12936 1?xe2，（??∞ 40