??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2
?2??x?2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为
（1） f(x)=ae??|x|
,λ>0;
??bx,0?x?1,(2) f(x)=?1x,1?x?2,
?2?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【
解
】（1）
由
????f(x)dx?11???ae??|x|dx?2a??e??xd2a??0x?? 故 a?
?2
即
密
度
函
数
?f(x)?????x?e,x?0?2?
???2e?xx?0当
x
≤0F(x)??xx???f(x)dx??e?xdx?1e?x??22
当
x>0
F(x)??x??f(x)dx??0??x??2edx??x???x02edx
?1?1e??x2
故其分布函数
?1?1e??x,xF(x)????2?0
?1??2e?x,x?0(2)
1???12??f(x)dx??bxdx??1b01x2dx?2?12 得 b=1
即X的密度函数为
??x,0?x?1f(x)???1x2,1?x?2
???0,其他当x≤0时F（x）=0 当
0 时 F(x)??x)dx??0x??x??f(x??f(x)d0f(x)dx ??x0dx?x2x2 当1 ≤ x<2 时 x01x知 F(x)??1??f(x)dx????0dx??0xdx??1x2dx ?312?x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为 为 ??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2 ?3??1,1?x?2?2x时 ?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点， （1） 时 ?=0.01，求z?; （2） ?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01 即 1??(z?)?0.01 即 ?(z?)?0.09 故 z??2.33 由 （2） 由P(X?z?)?0.003得 1??(z?)?0.003 16 即 ?(z?)?0.997 z??2.75 P(Y??1)?1?P(Y?1)?30.设X~N（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 当y≤0时，FY(y)当 y>0 2 3查表得 由P(X?z?/2)?0.0015得 1??(z?/2)?0.0015 ?P(Y?y)?0 时 x?lny即 ?(z?/2)?0.9985 FY(?z?/2?2.96 ， y)P(fX(x)dx ?Y )?y查表得 28.设随机变量X的分布律为 X Pk 故 ?????2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X的分布律. 2 fY(y)?【解】Y可取的值为0，1，4，9 dFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0 dyyy2π1P(Y?0)?P(X?0)?5P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为 Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 (2)P(Y?2X2?1?1)?1 117??61530 当y≤1时FY(y)当 ?P(Y?y)?0 y>1 时 FY(y)?P(Y?y)?P(2X2?1?y) ?y?1?2y?1??P?X??P??X????22??? 故 y?1?? 2??29.设P{X=k}=( 12??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx )k, k=1,2,?,令 ?1,当X取偶数时 Y????1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律. 【 解 】 d1fY(y)?FY(y)?dy4 ?2??y?1?y?1???fX??2???fX???2???y?1?????????1221?(y?1)/4e,y?1 y?12πP(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? (3) P(Y?0)?1 当y≤0时FY(y)当y>0时FY(y) 111?()2?()4???()2k??222 111?()/(1?)?443?P(Y?y)?0 ?P(|X|?y)?P(?y?X?y) 17 y ???yfX(x)dx 故 fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y) ?22πe?y2/2,y?0 31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1 故 P(1?Y?eX?e?) 1当 y?1时FY(y)?P(Y?y)?0 当1 FY(y)?P(eX?y)?P(X?lny) ??lny0dx?lny 当y≥e时 FY(y)?P(eX?y)?1 即分布函数 ?F?0,y?1Y(y)??lny,1?y?e ??1,y?e故Y的密度函数为 ?f?11?y?eY(y)??y, ??0,其他（2） 由P（0 P(Z?0)?1 当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0 当 z>0 时 ， FZ(?z)?P( ?Z ?P(lnX??z)?P(X?e?z/22) ??1?z/2e?z/2dx?1?e 即分布函数 F?0,z?0Z(z)?? ?1-e-z/2,z?0故Z的密度函数为 ?1?zf???2e/2,z?0Z(z) ??0,z?032.设随机变量X的密度函数为 ?f(x)=?2x?π2,0?x?π, ??0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0 当0 ?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π) ??arcsiny2x0π2dx??π2xπ?arcsinyπ2dx ?1π（arcsiny）2?1-122π2（π-arcsiny） ?2πarcsiny 当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为 ?21f(y)???,0?y?1Y?π1?y2 ???0,其他33.设随机变量zX的分布函数如下：?P Xz?F(x)??1?1?x2,x?(1), ??(2),x?(3).18 试填上(1),(2),(3)项. 【解】由limx??F(x)?1知②填1。 x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。 但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x） 由右连续性为0。 x?x0limF(x)?F(x0)?1知x0?0，故① +是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C） 37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外， f(x)=0，则区间 [a,b]等于（ ） 从而③亦为0。即 (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0, ?1,x?0? F(x)??1?x2?x?0?1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 3π]. 2【解】在[0,函数。 π/2π]上sinx≥0，且?sinxdx?1.故f(x)是密度 021【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相 6互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则 在[0,π]上在[??π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。 P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2) 111111???? 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 36 π,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 233π时，sinx<0，f(x)也不是密在[0,π]上，当π?x?22度函数。 故选（A）。 38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【 解 】 因 为 ?35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 X~b(n,0.1) X~N(0,?2),P(1?X?3)?P( 1??X??3?) 0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9 31??()??()令g(?) ??n即 (0.9)?0.1 利用微积分中求极值的方法，有 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 g?(?)?(?3?311??)?()??() 22??? ??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,10?x?, 21x?.2???3?212??得 1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2?1/2??8/2?e[1?3e]?02令 则F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型. 【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且 ?02?42,则 ?0?ln3ln3 又 g??(?0)?0 x???limF(x)?0 故 ?0?2为极大值点且惟一。 ln319 故当??2ln3时X落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ）， 每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律. P(X?m)?e???m【解】m!,m?0,1,2,? 设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即 P(Y?k|X?m)?Ckk)m?kmp(1?p,k?0,1,?,m由全概率公式有 ?P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m) m?k ???e???m?Ckpkm(1?p)m?km?km!??e????mm?km?kk!(m?k)!pk(1?p)???e??(?p)k[?(1?p)]m?kk! m?k(m?k)!?(?p)k???(1?pk!ee)?(?p)kk!e??p,k?0,1,2,?此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp. 40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0， 1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为 fx)???2e?2x,x?0X( ?0,x?0由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0 0 时 ， F?2xY(?y)?P( ?Y ?P(X??12ln(1?y)) ???12ln(1?y)x02e?2dx?y即Y的密度函数为 f??1,0?y?1Y(y)? ?0,其他即Y~U（0，1） 41.设随机变量X的密度函数为 ??13,0?x?1,?f(x)=??2,3?x?6, ?9?0,其他.??若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）= 23知P（X 13 若k<0,P(X ?103dx?k13?3 当k=1时P（X 13 1若1≤k≤3时P（X 3 ?1103dx??k= 239dx?29k?13?13 若k>6,则P（X 故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=23. 42.设随机变量X的分布函数为 ??0,x??1,F(x)=??0.4,?1?x?1,0.8,1?x?3, ???1,x?3.求X 的 概 率 分 布 . （1991研考） 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的 概率分布为 X y?(?1 ?Pe1 13 y20 ))