从而P{X?x1,Y?y3}?理
1. 12P{?2?Cp(1?p)mnmn?m同
1?Y }2e??n??,n?m?n,n?0,1,2,?. n!y,3P{X?x2,Y?y2}?
8又
24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~?2??1?0.30.7??，???P{Y?y}?1jj?13而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
,
故
【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为
111P{Y?y3}?1???.
6233. 同理P{X?x2}?4从而
G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X?
?0.3P{Y?u?1|X?1}?0.7P{Y?u?2|X?2}
11由于1X和Y独立，可见
P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}???.
3124G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2}
故
?0.3F(u?1)?0.7F(u?2).
由此，得U的概率密度为
g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2)
X Y y1 1 241 81 6y2 y3 P{X?xi}?Pi 11 81231 8411 32
x1 x2 14341 ?0.3f(u?1)?0.7f(u?2).
25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀
分布，求P{max{X,Y}≤1}.
解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有
P{Y?yj}?pj
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘
客在中途下车的概率为p（0 解 mnm?1?, 0?x?3, f(x)??3??0, x?0,x?3;?1?, 0?y?3, f(y)??3??0, y?0,y?3.因为X，Y相互独立，所以 】 n?m(1) P{Y?m|X?n}?Cp(1?p). (2) ,0?m?n,n?0,1,2,??1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9??0, x?0,y?0,x?3,y?3. P{max{X,Y}?1}?1. 9P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n} 推得 26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 31 Y ??1 0 1 X ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c P{X?Z}?P{Y?0}?0.1?b?0.2?0.1?0.1?0.2?0.4.习题四 1.设随机变量X的分布律为 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【 解 】 (1) 其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X)11111E(X)?(?1)??0??1??2??; 82842(2) ??0.2，可得 ?a?c??0.1. 再 11115E(X2)?(?1)2??02??12??22??; 828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4 由 22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P{X?0,Y?0}a?b?0.1P{Y?0X?0}???0.5P{X?0}a?b?0.5, 得 a?b?0.3. P 解以上关于a，b，c的三个方程得 a?0.2,b?0.1,c?0.1. (2) Z的可能取值为?2，?1，0，1，2， 142332415C5CCCCCCCCC901090109010901090?0.583?0.340?0.070?0.007?5100?055555C100C100C100C100C100C100故 E(X)?0.58?3?0 0.3?4?010.?0?702?0.?00?7?3P{Z??2}?P{X??1,Y??1}?0.2， ?0.501, 5P{Z??1}?P{X??1,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.1， D(X)??[xi?E(X)]2Pi i?0P{Z?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y??1}?0.3 ， ?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340???(5?0.501?0.432.3.设随机变量X的分布律为 X P ??1 0 1 p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因P1又 P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.3， P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?0.1， 即Z的概率分布为 Z P ?2 ??1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) ?P2?P3?1……①, 32 E(X)?(?1)PPP1?0?2?1?3?P3?P1?0.1……②, 22E(X2)?(?1)2?P?0?P?1?P123?P1?P3?0.9(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)?E(Z)?4E(X) ?11?8?4?5?68. ……③? 由①②③联立解得P1?0.4,P,P2?0.13?0.5. 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D （Y）=16，求E（3X??2Y），D（2X??3Y）. 【 解 】 (1) 4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问 从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3. (2) P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k} k?0ND(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 k1??P{X?k}?Nk?0N1n??E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为 N?kP{X?k}k?0Nf（x，y）=??k,0?x?1,0?y?x, 其他.?0,】 1x 【 试确定常数k，并求E（XY）. 解 ????因 ??????f(x,y)dxdy??dx?kdy?001k?1,21故 ?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2, ?0,其他.?求E（X），D（X）. 【 解 ??k=2? E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.200x. 9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 】 E(X)?? ??xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx 011212?e?(y?5),?2x,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?0,其他;?0,?求E（XY）. 【解】方法一：先求X与Y的均值? 12E(X)??x?2xdx?, 03y?5,其他. 3?13??2x???x???x???1. 3?1?3?0?E(X)??故 2????xf(x)dx??xdx??x2(2?x)dx?0121327 61D(X)?E(X2)?[E(X)]2?. 6E(Y)????5ye?(y?5)dy令z?y?55?edz??0???z??0ze?zdz?5?1?66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X. 【 解 】 (1) 由X与Y的独立性，得 2E(XY)?E(X)?E(Y)??6?4. 3 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为 E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44. ?2xe?(y?5),0?x?1,y?5, f(x,y)?fX(x)?fY(y)??其他,?0,33 1?π?4?π22??11??2)?E(X)?[E(X)]?2???. ??(y?5)2?(y?5)D(X2?2k?E(XY)???xy?2xedxdy??2xdx??yedy??6?4. k4k??5005310.设随机变量X，Y的概率密度分别为 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋 于是 2?2e?2x,x?0,?4e?4y,fX（x）=? fY（y）=?0,x?0;??0,求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）. 【 ????y?0, y?0.】 中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的 可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 -2x解 ?2x9?0.750, (X)??xfX(x)dx?x?2edx?[?xe]?edx??012??139?2xedx?.P{X?1}???0.204, ? ?021211????1329?4yyf(y)dyy?4edy?.P{X?2}????0.041, E(Y)? ???Y?04121110 3219P{X?3}?????0.005. ????211211109E(Y2)??y2fY(y)dy??y2?4e?4ydy?2?. ??0于是，得到X的概率分布表如下： 48X 0 1 2 3 113??. 从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)?P 0.750 0.204 0.041 0.005 244???2x??00 P{X?0}?(2) 由此可得 115E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2??3?? 28811.设随机变量X的概率密度为 E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301. ??cxe?kf（x）=???0,22x,x?0, x?0.22E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.41D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.413?(0.301)2?0.322.13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度 求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由 ?????f(x)dx??cxe?kxdx?0??c?1得22k为 x?1?4?e,x?0,f（x）=? 4?x?0.?0,c?2k2. (2) ????E(X)????xf(x)d(x)??0x?2k2xe?kxdx x22为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元? ?2k2???0x2e?k22πdx?. 2kx2?2k2xe?k22(3) E(X)??故 2????xf(x)d(x)??2??x01. k2? P{Y?100}?P{X?1}?? ??11?x/4edx?e?1/4 4P{Y??200}?P{X?1}?1?e?1/4. 故 E(Y)?100?e?1/4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33 34 (元). 14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi） =σ，i=1，2，…，n，记 n11n2X??Xi,S，S2=(Xi?X)2. ?ni?1n?1i?12 从而 nn2?1?12E(s)?E?(?Xi?nX)??[E(?Xi2)?ni?1?n?1i?1?n?12 n21?[?E(Xi2)?nE(X)]n?1i?1?2（1） 验证E(X)=μ，D(X) = n； ? n212（2） 验证S2=(?Xi?nX)； n?1i?1????1???n?(?2?u2)?n??u2????2.n?1??n??2 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=??1, 计算：Cov（3X??2Y+1，X+4Y??3）.? （3） 验证E（S2）=σ2. 【 证 】 (1) 【 解】 n1n1Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D?1n?1E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)??nu?u. ni?1n ?ni?1?ni?1nn?3?2?10?(?1)?8?3??28 1?1n?1D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2?DXi ?nnni?1i?1?i?1?(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类 ?1?2?n??. n2n2似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 (2) 因 ?(Xi?1nni?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi 22i2ii?1i?1i?1n2n2n?122?,x?y?1,f（x，y）=?π ?其他.?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D ?{(x,y)|x2?y2?1}. ????X?nX?2X?nX??Xi2?nX2ii?1i?1n21故S?(?Xi2?nX). n?1i?122n2 E(X)?????????xf(x,y)dxdy?1xdxdy ??πx2?y2?1 212π1=??rcos??rdrd??0. π00(3) 因 E(Xi)?u,D(Xi)??同理E(Y)=0. , 故 而 E(Xi2)?D(Xi)?(EXi)2??2?u2. 同 理 因 CovX(Y,?)?X,)故 ????????? xdyx[?Ex(?)]y?[EY()f]x(y,)E(X?)u,?D(n?2 112π12???2xydxdy?π?0?0rsin?cos?rdrd??0πx2?y?1, 由此得 E(X)?2?2n?u2. ?XY?0,故X与Y不相关. 35