P
0.4 0.4 0.2 P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94
43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一
次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.
【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则
X~b(3,p)
由P（X≥1）=
令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故
198知P（X=0）=（1?p）3= 2727??P(X?n)?(0.94)nn?2 ??P(X?n?2)?C2(0.06)2n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n)故p=
1 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】
?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n
47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态
24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P??1??() 4??P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)? ?????52445.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2 )?0.977 故 ?(P{X<0}= . ?【解】24?2,即σ=12 查表知 2?2X?24?2?0.3?P(2?X?4)?P(??) 从而X~N（72，122） ???故 22??()??(0)??()?0.5 ???60?72X?7284?72?P(60?X?84)?P???2? 故 ?()?0.8 121212???因 此 ?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2） P(X?0)?P(X?2??0?2? )??(?2?) ??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682 2?1??()?0.2 48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下， 某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}， A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知 ?46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3 需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α； （2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β； （3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则 P(A1)?P(X?200) A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂} 由题意知B= A∪AB，且 21 ?X?220200?220??P??? 25?25???(?0.8)?1??(0.8)?0.212?124?,e?y?e fY(y)??2y?0,其他?50.设随机变量X的密度函数为 P(A2)?P(200?X?240) ?200?220X?220240?220??P?????e?x,x?0,fX(x)=? ?0,x?0.求 随 机 变 量 Y=eX 的 密 度 函 数 fY(y). ?252525? ??(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212由全概率公式有 ?3?P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642 i?1由贝叶斯公式有 ??P(A)P(B|A2)2|B)?P(A2P(B)?0.009 49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X 的概率密度fY(y). 【解】 f?1,1?x?2X(x)?? ?0,其他因为P（1 FY(y)?P(Y?y)?P(e2X?y) ?P(1?X?12lny) ?1 ??2lny1dx?12lny?1 当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1 即 ?0,y?e2?F(y)???1Y2lny?1,e2?y?e4 ???1,y?e4故 (1995研考) 【解】P（Y≥1）=1 当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0 当 y>1时 ， FXY(?y)?P(?Y ??lny 10e?xdx?1?y ?y>1即 F?1?1,Y(y)??y ??0,y?1?故 f?1y2,y>1Y(y)?? ??0,y?151.设随机变量X的密度函数为 fX(x)= 1π(1?x2), 求Y=1? 3x的密度函数fY(y). 【 解 】 FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y)3) ???11?(1?y)3π(1 ?x2)dx?πarctgx(1?y)3 ?1?π3π??2?arctg(1?y)???故 )?3(1?y)2fY(yπ1?(1?y)6 22 54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ(2006研考) 1|<1}>P{|Y- 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从 参数为λt的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运 行8小时的概率Q.（1993研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. 解： 依题意 X??1?1?N(0,1)， ?P(T?t)?0 当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有 Y??2FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t 即 ?2?N(0,1)，则 ?1?e??t,t?0 FT(t)??t?0?0,2 ） P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}， 即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 （ P{Y??2?1}?P{?2??2}. 因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即 e?16??8?Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e eX??1Y??11153.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事P{?}?P{?}， 件{?1 所以有 ?1?1?2?21?1?1?2，即 ?1??2. 115X?1)?1??? 848x?1当?1 2由题知P(?1?此时F(x) 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示 三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： 1 2 3 ?P(X?x) 0 X ?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X ?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1)?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1)?x?15151???(x?1)?288168当x=?1时，F(x)故X的分布函数 Y 1 0 3 0 11132111C1????C????3/83322282220 10 1111??? 82228 ?P(X?x)?P(X??1)?1 8 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： 0 X 1 2 3 x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1 8?16x?1??1, Y 23 0 0 0 C2?C23C31323?C22C4?4?735C7351 0 C1?C1?C22113132232232C4?C6?C?C35C4?C12?C27735C4?7352 P(0黑,2红,2白)= C13?C22?C12C623?C20 23C4?35C4?C247735212?C2/C7?35 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 ?F（x，y）=?ππ?sinxsiny,0?x?2,0?y?2 ??0,其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域 ??0?x?πππ??4,6?y?3??内的概率. 【解】如图P{0?X?π4,π6?Y?π3}公式(3.2) F(π4,π3)?F(ππππ4,6)?F(0,3)?F(0,6) ?sinππππππ4?sin3?sin4?sin6?sin0?sin3?sin0?sin6?2 4(3?1). 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 ?(3x?4y)f（x，y）= ??Ae,x?0,y?0,?0,其他. 求：（1） 常数A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【 解 】（ 1） 由 ?????f(x,y)dxdy??????x?4y)?????0?0Ae-(3dxdy?A12?1 得 A=12? （2） 由定义，有 F(x,y)??y???x??f(u,v)dudv ?yy?(3u?4v)dudv?(1?e?3x????0?012e??)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2} ?P{0?X?1,0?Y?2}??1?(3x?4y)0?2012edxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499. 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4, ?0,其他.（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有 ??????2????f(x,y)dxdy??0?42k(6?x?y)dydx?8k?1, 故 R?18? （2） P{X?1,Y?3}??13?????f(x,y)dydx ??1310?28k(6?x?y)dydx?38 (3) P{X?1.5}?y)dxdy如图ax,y)dxdy x???f(x,1.5??f(D1 ??1.5dx?41028(6?x?y)dy?2732. (4) P{X?Y?4}?xdy如图bX???f(x,y)dY?4??f(x,y)dxdy D224 24?x ??dx?1028(6?x?y)dy?23. 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为 ?5e?5yf,y?0,Y（y）=??0,其他. 求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}. 题6图 【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为 ?f?1,0?x?0.2,X(x)?? ?0.2?0,其他.而 ?5e?5yf(y)??,y?0,Y?0,其他. 所以 f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y) ?1????5e?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0, ?0.2???0,?0,其他.(2) P(Y?X)?y)dxdy如图y??f(x,?x??25e?5ydxdy D ??0.2dx?x25e-5ydy??0.2(?5e?5x000?5)dx =e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=??(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,?0,其他. 求（X，Y）的联合分布密度. 【 解 】 ?2F(x,y)?8e?(4x?2y)f(x,y)?,x?0,y?0,?x?y?? ?0,其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x, ?0,其他.求边缘概率密度. ??【解】 fX(x)????f(x,y)dy =????x)dy204.8y(2?x????2.4x(2?x),0?x?1, ?0,?0,其他. fY(y)??????f(x,y)dx ?1=???y4.8y(2?x)dx??2.4y(3?4y?y2),0?y?1,???0,?0,其他. 题8图 题9图 25