这里的?L?和?L?既不是对数正态分布的位置参数和尺度参数，也不是其均值和标准差，而是它的“对数均值”和“对数标准差”。根据zR可从正态分布表中查得R值。 (4) 应力为指数分布、强度为正态分布时的可靠度计算
应力为指数分布，其概率密度函数应为：
f(?)???e???? (4-40)
强度为正态分布，其概率密度函数应为：
f(?)?11????2exp[?()] (4-41)
2S?S?2?由于指数分布只有正值，根据式(4-27)，可求得可靠度为：
R??f(?)[?f(?)d?]d??1??(?00????S?)?[1??(??????S?2S?)]e122?(2???????S?)2 (4-42)
应力与强度还呈现其它多种分布方式，限于篇幅，这里不再一一述及，有关可靠度的计算请读者参考相关文献。 (5) 随机变量函数的变差系数
在机械设计中有大量函数形式的计算公式常包含多个随机变量之间的乘除关系，而且有些还是非线性的，对于这些函数的统计特征值，特别是标准差，可利用变差系数的概念，使这些函数从变量之间的乘除关系转化成变差系数之间的简单关系，这样既便于运算，也简化了运算过程。
1) 变差系数的定义
具有平均值x和标准差Sx的随机变量x的变差系数Cx可定义为：
Cx?2) 变量为乘除关系函数的变差系数
Sx (4-43) x设两个变量(x，y)的函数为z?xy，当x、y为互相独立的随机变量时，由概率统计可知，其标准差为： Sz?故z的变差系数为 Cz?2x?2Sy?y?2Sx2?xy(Sx2Sy2)?()?xy(Cx)2?(Cy)2 (4-44) xySzSz22??(Cx)2?(Cy)2，即Cz2?Cx (4-45) ?Cyzxy同理，对于多变量函数z?x1?x2?xn，可求得其标准差为：
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C?C?C???C?2z2x12x22xn?Ci?1n2xi (4-46)
值得注意的是，不论两个变量(x，y)之间是乘或是除，其函数变差系数C的近似计算是相同的。因此，对于任何形式组成的多变量函数，其变差系数的计算也比其标准差的计算要简便得多。
在可靠性设计中应用变差系数作近似计算，有助于简化计算方法，减少计算程序，且与设计变量间函数关系所计算出的结果很接近。所以它不但可用于在给定可靠度条件下对零件进行可靠性综合设计，以确定零件必要的强度及基本结构尺寸；同样还可用于对现有产品或设计方案根据已知的设计变量进行可靠性设计，以评价及预测零件在强度上所具有的可靠程度。
(6) 安全系数的统计分析
常规设计中，安全系数被定义为材料的强度除以零件中量薄弱环节上的最大应力，其极限应力状态下的安全系数为：
n?式中 ?min——材料强度的量小值；
?min (4-47) ?max?max——工作应力的量大值。
常用的安全系数用下式表示：
n?式中 ?——材料强度均值。
? (4-48) ?max 实际上，由于?min、?max无明确的定量概念，加之材料强度具有离散性，零件薄弱环节上的最大工作应力在不同工况条件下也在变动，所以上述安全系数的定义具有某种不确定性。同时，它又没有和零部件的破坏概率相联系，所以上述安全系数不能较深入的揭示事物的本质。
如将常规状态下的安全系数引入设计变量的随机性概念(如材料强度、工作应力的概率分布)，可得出可靠度意义下的安全系数。
?、?为R=50％时材料强度取值和工作应力取值，这时平均安全系数可表示为：
n?? (4-49) ?如强度取R=95％的下限?min，工作应力取R=99％的上限?max，其可靠性安全系数可表示为：
n95?(99)?min?(95)(1?1.65C?)? (4-50) ???max?(99)(1?2.33C?)?102
前两式中的nc、n95均表示了不同可靠度意义下的安全系数。
(99)任意可靠度下的安全系数nR可表示为：
nR??min(1?z?C?)? (4-51) ??max(1?zC?)??式中 z?、z——分别为强度、应力的标准正态偏量；
?C?、C?——分别为强度、应力的变差系数。
因为可靠度对均值和标准差都很敏感，所以要得到一个较好的可靠度估计值，必须严格控制可靠度、应力的均值和标准差。
当应力、强度均为正态分布时，由正态分布联结方程得：
zR??????S??S?22????1??????S???S??2?22222?nc?1C?nc?C?222 (4-52)
??此式表明了可靠度、均值安全系数及变差系数之间的关系。 当应力、强度均为对数分布时，有：
2ln???ln???zRC?2?C?，即ln??2 ?zRC?2?C???于是，可靠性设计的均值安全系数为：
?z nc???e??R22C??C? (4-53)
对于给定的可靠度R，可靠性指数zR为定值。由上式可知，应力及强度的变差系数C?、
C?愈大(即应力和强度的离散性愈大)，则所需的安全系数nc亦愈大；反之，安全系数可小
些。
4.2.2零件疲劳强度可靠性设计
为了进行变应力下机械零件的可靠性设计，需要知道材料的疲劳强度分布和分布参数，以及影响疲劳强度因素的分布数据。由于材料的化学成分、热处理、加工工艺过程等方面的离散性，试件或零件的疲劳曲线不是单值的，而是呈分布状态。
稳定变应力零件疲劳强度可靠性设计分为以下几类。 (1) 按零件实际疲劳曲线设计
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零件实际疲劳曲线是根据实际零件做的疲劳试验而得到的曲线。曲线包含了材料强度、应力集中、表面状况、尺寸甚至工况变化等因素，与实际状态基本一致，而且应力特性也一致。一般计算简单，效果也很好，内燃机的连杆、曲轴等零件均可对实物进行试验，可按零件实际疲劳曲线设计可靠性。
1) 按零件的R?S?N曲线设计
测得某零件实际的
R?S?N曲线如图4-6所示，
纵轴为疲劳强度，横轴为应力循环次数(或寿命)。如疲劳强度的概率密度函数为g(?)，应力为f(?)，其干涉图形也画在同一图内。
做无限寿命可靠性设计时，用lgN0右侧的水平线部
图4-6 某零件实际的R-S-N曲线 分，取其均值?r，标准差S?r为强度指标。在做无限寿命机械疲劳强度可靠性设计时，常取
N0=106～107为界限。
做有限寿命设计时，在指定寿命Ne处取疲劳强度均值与标准差，如图中a、b点之值。工作应力的均值为?、标准差S?已求得，如两者均为正态分布，可直接由联结方程求解。
在做无限寿命机械疲劳强度可靠性设计时，常取N0=10～10为界限。 2) 按零件等寿命疲劳极限图设计
当零件受任意对称或非对称的循环变应力，疲劳强度可靠性计算可利用等寿命疲劳极限图计算。等寿命疲劳极限图如图4-7所示。
图4-7中等寿命疲劳极限图是以很多R?S?N曲线为基础求得的。图中横坐标为平均应力?m，纵坐标
图4-7 零件等寿命疲劳极限图 36 为应力幅值?a。
?m?(?max??min)?(1?r)?max (4-54)
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1212?a?(?max??min)?(1?r)?max (4-55)
式中 r——不对称系数r?1212?max； ?min?min——最小正应力； ?max——最大正应力。
当工作应力不对称系数r为某值时，该应力点为L，L点平均应力为?Lm，应力幅值为
?La。在该图上从原点o与L作一条给定r的交线，交等寿命图曲线上一点M，则过M点
的强度分布与r点的工作应力分布相干涉，此时，强度：
?rC??Mm??Ma (4-56)
S?rC工作应力：
22?MmSMm??MaSMa1?[]2 (4-57) 22?Mm??Ma2222?L??Lm??La (4-58)
S?L22?LmSLm??LaSLa1?[]2 (4-59) 22?Lm??La2222如果?L及?rC均为正态分布，利用联结方程可求得可靠度R。 (2) 按材料标准试件的疲劳曲线设计
一般来说，材料标准试件的疲劳曲线图比零件的疲劳曲线图易于得到，故可利用标准试件的疲劳曲线图与修正系数来估算零件的疲劳极限，进而再进行零件疲劳强度的可靠性设计。 标准试件的R?S?N曲线可由试验得到，标准试件的R?S?N曲线图如图4-8所示。与标准试件的R?S?N曲线相比，零件的R?S?N曲线主要有应力集中、尺寸效应、表面状态等因素影响的差别，一般可用综合修正系数K?C对标准试件的数据作必要的修正后即可。
修正办法如下：
标准试件的R?S?N曲线如图4-8。如果把标准试件S?N曲线的斜线转化为零件
S?N曲线的斜线就可得到零件的S?N曲线。
对于钢，当N0?106时，??1N6接近于??1，故在N≥N0时零件的疲劳极限均值、变差系数和标准差分别为：
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