NS——总的循环次数； Ni?——??i处的循环次数。
由前知
NNe?Sa因为
?(i?1n?imNi? (4-77) )?1NS?AiNi?，于是得： ?ANSNNe?Sa式中
?(i?1n?im?Ai (4-78) )?1A?Ai由频率直方图确定，一般取a=1。求得Ne后，就可确定R?S?N曲线上的位置，A从而可得出零件的疲劳极限分布参数，根据工作应力?e就可进行可靠性计算。
4.3 系统可靠性设计
系统的可靠性，与组成系统的单元的数目、单元的可靠性以及单元之间的相互功能关系有关，在可靠性工程中，往往用系统的结构图和逻辑图来描述系统与各单元之间的关系。其中，系统结构图用来表达系统中各单元之间的物理关系，系统可靠性逻辑图则用来表达系统单元间的功能关系，它指出系统为完成规定功能，哪些单元必须正常工作，哪些仅作为替补件等等。
逻辑图中包含一系列方框，每个方框代表系统的一个单元，方框之间用直线联接起来，表示单元功能与系统功能间的关系。因此，系统可靠性功能逻辑图又称为系统逻辑框图或称为系统功能图，它仅表达系统与单元间的功能关系，而不能表达它们之间的装配关系或物理关系。
4.3.1串联系统可靠性
当一个系统的单元中只要有一个失效该系统就失效，则这种系统称为串联系统。系统中各单元从功能和逻辑关系上看，如同许多链环连接成的一个链条。图4-l2所示为n个单元的串联系统逻辑图。
n个单元的串联系统逻辑图
设系统正常工作时间(寿命)这一随机变量为t，组成该系统的第i个单元的正常工作时间
图4-l2
随机变量为ti（i?1,2,?,n)。在串联系统中，要使系统能正常运行，就必须要求n个单元
111
都能同时正常工作，且要求每一单元的正常工作时间ti（i?1,2,?,n)都大于系统正常工作时间t，因此按概率的乘法定理及可靠度的定义，串联系统的可靠度可表达为：
Rs(t)?R1(t)?R2(t)?Rn(t)? 如果各个单元的寿命都服从指数分布，即
?R(t) （4-79）
ii?1nRi(t)?e??it，t?0
式中 ?i——第i个单元的失效率。 则系统的可靠度为
Rs(t)??ei?1n??it??e??iti?1n?e??st （4-80）
因此，系统的失效率为
?s??1??2????n???i （4-81）
i?1n系统的平均寿命为
?s?1?s?1??1??2????n1??i?1n （4-82）
i4.3.2并联系统可靠性
当一个系统的单元中只要有一个单元正常工作，该系统就能正常工作，只有全部单元均失效时系统才失效，则这种系统称为并联系统，或称为工作冗余系统。具有n个单元的并联系统逻辑图如图4-13所示。
设在并联系统中各单元的可靠度分别为
R1，R2，?，Rn，则各单元的失效概率分别
为(1?R1)，(1?R2)，?，(1?Rn)。若各单元的失效是相互独立的事件，则由n个单元
组成的并联系统的失效概率Fs可根据概率乘法定理表达如下：
Fs?(1?R1)?(1?R2)?(1?Rn)?可得并联系统的可靠度为
图4-13 n个单元的并联系统逻辑图 ?(1?R) （4-83）
ii?1n 112
Rs?1?Fs?1??(1?R) （4-84）
ii?1n由以上结果可见，并联系统可靠度Rs随着单元数n和单元可靠度Ri的增大而增大。 n?2是在机械系统中应用较多的情况，当n?2且R1?R2时，
Rs?1?(1?R)2?2R?R2 （4-85）
如果单元的可靠度函数服从指数分布，即R(t)?e??t，则
Rs?2e??t?e?2?t （4-86）
此时系统的效率?s(t)可表达为
1dRs(t)1?e??t ?s(t)?? （4-87） ??2?Rs(t)dt2?e??t4.3.3 串并联系统的可靠性
串联与并联组合起来的系统，称为串并联系统。许多工程系统是由串联系统及并联系统组合而成的串并联系统。串并联组合系统的形式很多，它可以是由一组串联子系统与另一组串联子系统组成的并联系统；也可以是由两个或更多的并联子系统串联成的系统，以及混合并联的组合系统。串并联系统可靠度的计算方法，是先将系统中相应的串、并联子系统归并起来，简化为一个等效的串联系统或并联系统，然后计算等效系统的可靠度，即为原系统的可靠度。
图4-14(a)所示为一复杂的串并联系统。可将该系统转化为等效串联系统的方法来计算该系统的可靠度，其步骤如下：
(1)求出串联单元3,4及5,6两个子系统S34,S56的可靠度
图4-14 串并联系统的可靠性计算过程图 R34,R56，有
R34?R3R4，R56?R5R6
(2)求出S34与S56以及单元7与8并联的子系统的可靠度R3456，R78,如图4-14(b)所示，
113
有
R3456?1?(1?R34)(1?R56)，R78?1?(1?R7)(1?R8)
(3)最后求出经过上述步骤转化而得到的一个等效串联系统(图4-14(c))的可靠度Rs
Rs?R1R2R3456R78?R1R2[1?(1?R34)(1?R56)][1?(1?R7)(1?R8)]
4.3.4 表决系统的可靠性
由n个单元组成的一个并联系统，有k个或k个以上单元不失效，系统就不失效，这种系统称为n中取k（1?k?n）的表决系统，记为k/n系统。机械系统通常只有最简单的3中取2的表决系统，记为2／3系统。它是由三个单元并联系统，要求系统中不能多于一个单元失效，其系统逻辑图如图4-15所示。
由该图可知，2／3系统有四种成功的工况：全部单元正常工作；只有第1个单元失效；只有
图4-15 2／3系统逻辑图 第2个单元失效；只有第3个单元失效。若第1，2，3单元的可靠度分别为R1，R2，R3时，则按概率乘法定理及加法定理，可求得系统可靠度为
Rs?R1R2R3?(1?R1)R2R3?R1(1?R2)R3?R1R2(1?R3)
当R1?R2?R3?R时，则
Rs?R3?3(1?R)R2?3R2?2R3
当R?e??t时，则
?s??Rsdt??(3R2?2R3)dt??(3e?2?t?2e?3?t)dt?000???3255???? 2?3?6?6
4.3.5贮备系统的可靠性预测
当并联系统中只有一个单元工作，其它单元不工作而作贮备，而当工作单元失效，则贮备单元中的一个单元立即顶替上，将失效单元换下，使系统工作不致中断，则这种系统称为贮备系统或后备系统或后备冗余系统。贮备系统的逻辑图如图4-16所示。
在由n个单元构成的贮备系统中，如果故障检查器与转换开关可靠度很高(即接近串并联系统的可靠性100％，
图4-16 贮备系统的逻辑图 使其不影响系统可靠度)，则在给定的时间t内，只要累积的失效单元数不多于(n?1)个，则
114
系统均不会失效。
若各单元的失效率?1(t)??2(t)????n(t)??，则贮备系统的可靠度可用泊松分布的部分求和公式来计算：
(?t)2(?t)3(?t)n?1Rs(t)?e[1??t?????] （4-88）
2!3!(n?1)!??t当n?2时，
Rs(t)?e??t(1??t) （4-89） 1dRs?2t （4-90） ?s????Rsdt1??t这时，贮备系统的平均寿命为
?s??Rs(t)dt??edt???tdt?000????t?1??1??2??2? （4-91）
式中 ?——单元的失效率；
?——单元的平均寿命。
显然，与并联系统的平均寿命相比，贮备系统的平均寿命比较高。 4.3.6复杂系统的可靠性
实际工作中的许多复杂系统，系统各单元之间构成既非串联又非并联。对复杂系统的
可靠性计算，利用逻辑运算方法比较麻烦，这时可以采用以下方法。 (1) 布尔真值表法
图4-17所示的像电桥一样的系统，不能简化为串联、并联或串并联等上述典型的数学模型而加以计算，只能用分析其“正常”与“失效”的各种状态的布尔真值表法来计算其可靠度，故此法又称为状态穷举法。它是一种比较直观的、用于复杂系统可靠度计算的方法。
假设系统由n个单元组成，且各单元均有“正常”(用
图4-17 电桥式系统的逻辑图 nn“l”表示)与“失效”(用“0”表示)两种状态，这样，该系统的状态共有2种。对这2种状态作逐一分析，即可得出该系统可正常工作的状态有几种，并分别计算其正常工作的概率，然后将该系统所有正常工作的概率相加，即可得到该系统的可靠度。这一过程可借助于布尔真值表进行，故称为布尔真值表法。
图4-17所示的复杂系统，单元A，B，C，D，E各有“正常”与“失效”两种状态，这样系统共有32种状态，将这32种状态列成布尔真值表。系统状态序用“S”表示正常，用“F”表示“失效”。结合图4-17所示的电桥式系统的逻辑图，按以上约定的表示方法，可得如表4-1所示的布尔真值表。
115