大学物理（一）练习册 参考解答
???3. 质点作曲线运动，r表示位置矢量，v表示速度，a表示加速度，S表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中，
(1) dv/d t?a， (2) dr/dt?v， (3) dS/d t?v， (4) dv/dt?at．
(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． 答案： (D) 参考解答：
??质点作曲线运动，应该考虑速度v，加速度a的矢量性。
???dv?dr?注意正确书写矢量公式，例如：?a,?v.
dtdt速度和速率是两个不同概念。前者为矢量，后者为标量；瞬时速度的大小和瞬时速率相同：
dS/d t?v. 所以只有(3)是对的。
大学物理（一）练习册 参考解答
第1章 质点运动学
一、选择题
1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(B)，6(D)，7(D)，8(E)，9(B)，10(B)， 二、填空题 (1).
1?2n?1??? (n = 0,1,… ), ?A?2sin?t 2(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s. (4). 16Rt2 ?
(5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t2-6t (m/s2). (6).
13ct，2ct，c2t4/R. 3(7). 2.24 m/s2，104o
(8). 50(?sin5ti?cos5tj)m/s，0，圆. (9). xmax?mv0/K
??1kt21(10). ??
v2v0
1
三、计算题
1. 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．
解：(1) v??x/?t??0.5 m/s
(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.
2. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S?bt?12ct 其中2b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．
解： v?dS/dt?b?ct at?dv/dt?c an??b?ct?/R
2根据题意： at = an 即 c??b?ct?/R
2解得 t?Rb? cc
3. 一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．
解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt
?v0dv??4tdt v = 2t2
02
t v?dx /d t?2t
?xx0dx??2t2dt
0t x?2 t3 /3+x0 (SI)
4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．
dvdvdydv??v dtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy
1212 ??kydy??vdv , ?ky?v?C
221212已知 y?y0 ，v?v0 则 C??v0?ky0
22解： a? v?v0?k(y0?y)
2
2222
5. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．
解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：
vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知
vAE 大小未知， 正北方向
北???由相对速度关系有： vAE?vAF?vFE ????vFEvAE、 vAF、vEE构成直角三角形，可得 ?西vAE??2?2??vvAE??vAF???vFE??170 km/ h vAF?v???tg?1?vFE/vAE??19.4?
?v （飞机应取向北偏东19.4?的航向）．
四 研讨题
?? a?0v 1. 在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不
M M 可能的？ ?v ?(2) (1) ?a
a ?参考解答： v M ?a (1)、(3)、(4)是不可能的．
?M v (1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；
(4) (3) (3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；
(4) 曲线运动法向加速度不可能为零.
2. 设质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)在计算质点的速度和加速度时： drdr第一种方法是，先求出r?x?y，然后根据 v?及 a?2而求得结果；
dtdt第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
222
dx2dy2d2x2d2y2 v?()?()和 a?(2)?(2).
dtdtdtdt你认为两种方法中哪种方法正确？
参考解答：
第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，
??d?dx?dy??drv??(xi?yj)?i?j
dtdtdtdt?ddx?dy?d2x?d2y??dva??(i?j)?2i?2j
dtdtdtdtdtdt 3
dxdy所以 v?()2?()2， a?dtdtd2x2d2y2(2)?(2). dtdt第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性
??0dr0dr?drd0??r?0为r方向的单位矢量）?)?r （r， v??(r?rdtdtdtdt??0?0drdrd2r?dvd2r0??2?a??r?r. 2dtdt2dtdtdt?0dr?? 问题的关键：dt??0didr?0,如果在第一种方法的讨论中，?0,那么 在第二种方法中，dtdt??0dr0drdr0?drd0??r?)??,则v?dr也成立！ r v?=??(r?rrdtdtdtdtdtdt?0dr?0必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据?0,则r注意：若
dt?0大质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)，质点作平面曲线运动，如图所示，r小不变，但方向改变！
?0dr?0,即第一种方法是错误的！ 所以dt?0???drdi?0?i（显然i是大小与方向均不随时间改变的常矢量）??0,只有在直线运动中，rdtdtdrd2r速度的大小才等于.对加速度的大小a?也可以用同样方法加以讨论.
dt2dt
第2章 质点力学的运动定律 守恒定律
一、选择题
1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(C)，7(B)，8(C)，9(C)，10(B)，11(C)，12(D)，13(B)
二、填空题 (1). 12rad/s. (2). 290J (3). 3J (4). 18 N2s
??(5). 2t3i?2tj (SI)
3(6). 16 N2s， 176 J (7). 16 N2s ，176 J (8). l0k/M，(9). i?5j (10).
??Ml0k
M?nmM2mv， 指向正西南或南偏西45°
三、计算题
4
1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x2，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．
解：根据牛顿第二定律
kdvdvdxdv?m?m??mv 2dtdxdtdxxvA/4dxk∴ vdv??k,vdv??dx 22??mx0Amx12k413k v?(?)?2mAAmA∴ v?6k/(mA)
f??
2. 飞机降落时的着地速度大小v =90 km/h，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数??=0.10，迎面空气阻力为Cxv2，升力为Cyv2(v是飞机在跑道上的滑行速度，Cx和Cy为某两常量)．已知飞机的升阻比K=Cy /Cx=5，求飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离．(设飞机刚着地时对地面无压力)
解：以飞机着地点为坐标原点，飞机滑行方向为x轴正向．设飞机质量为m，着地后地面对飞机的支持力为N．在竖直方向上
N?Cyv?mg?0 ∴ N?mg?Cyv 飞机受到地面的摩擦力 f??N??(mg?Cyv2) 在水平方向上 ??(mg?Cyv)?Cxv?m2222dvdv?mv dtdx即
mvdv??dx
?mg?(Cx??Cy)v2Sx = 0时，v?v0?90km/h?25m/s．x =S（滑行距离）时，v＝0
mvdv???dx??S ?2?mg?(C??C)vxyv0001m2
Cx??Cy解得
0v0?d[?mg?(Cx??Cy)v2]?mg?(Cx??Cy)v2??S
12m?mg?(C??C)vxy02S?ln
Cx??Cy?mg2∵ 飞机刚着地前瞬间，所受重力等于升力，即 mg?Cyv0
Cymgmg∴ Cy?2 , Cx??2
K5v0v0代入S表达式中并化简，然后代入数据
25v01 S?ln?221 m
2g(1?5?)5?
5