振动周期 T?2?
m?1.09 s 2S?g3.质量m = 10g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x?0.5cos(8?t?1?)的规律作自由振
3动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求
(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E； (4) 平均动能和平均势能．
解：(1) A = 0.5 cm；? = 8? s；T = 2?/? = (1/4) s；? = ?/3
-1
1sin(8?t??) (SI)
3???32?2?10?2cos(8?t?1?) (SI) a??x3121-22 (3) E?EK?EP?kA?m?A=7.903105 J
22T1 (4) 平均动能 EK?(1/T)?mv2dt
20???4??10 (2) v?x?2T ?(1/T)11?222m(?4??10)sin(8?t??)dt ?230-
= 3.953105 J = 同理 EP?1E 21E= 3.95310-5 J 2
4.一质量m = 0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度
-1
系数k = 25 N2m． (1) 求振动的周期T和角频率?．
(2) 如果振幅A =15 cm，t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相?．
(3) 写出振动的数值表达式． 解：(1)
??k/m?10s?1
T?2?/??0.63 s
2x0?(v0/?)2????
22 (2) A = 15 cm，在 t = 0时，x0 = 7.5 cm，v 0 < 0 由 A?得 v0???A?x0??1.3 m/s ??tg(?v0/?x0)?∵ x0 > 0 ，∴ ???11? 或 4?/3 31? 3 21
(3) x?15?10?21cos(10t??) (SI)
3
5.如图5所示，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m，
重物的质量m = 6 kg，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m时撤去力F．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．
?(t??)． 解：设物体的运动方程为 x?Acos恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F30.05 = 0.5 J． 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J，即：
m O 图5 F x
12kA?0.5 J， ∴ A = 0.204 m． 22A即振幅． ??k/m?4 (rad/s)2
? = 2 rad/s． 按题目所述时刻计时，初相为? = ?．
∴物体运动方程为 x?0.204cos(2t??) (SI)．
四 研讨题
1. 简谐振动的初相是不是一定指它开始振动时刻的位相？
参考解答：
对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，?值就不同。例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，则?值等于零；如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，则?等于?。由于?是由对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。
思考题：任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？
2. 任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？
参考解答：
因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。
若振子的质量为M，弹簧的质量为m，弹簧的劲度系数为k，可以计算出，在考虑了弹 簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为
T?2?M?m/3 k例：劲度系数为k、质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解弹簧振子的振动周期( m 22 解：平衡时0 点为坐标原点。物体运动到x处时，速度为v .设此时弹簧的长度为L，取弹簧元dl分析： mldl，位移为x（前提: 弹簧各等长小段变形相LLldxl同，位移是线性规律），速度为：?v. LdtL211L1m?l?弹簧、物体的动能分别为：Ek1??0(dl)?v??mv2，Ek2?Mv2. 2L62?L?质量dm?kx2系统弹性势能为：EP?. 2111系统机械能守恒，有：Mv2?mv2?kx2?常数 2621m1即 (M?)v2?kx2?常数 232mdv将上式对时间求导，整理后可得：(M?)?kx?0 3dtkd2xk2??即 令 ?x?02M?m3M?m3dt比较简谐振动微分方程，知 T? 3. 弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐运动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐运动，这两种简谐运动有什么不同？ 参考解答： 这两种振动虽都是简谐振动，其振动的表达式x?Acos(?t??)形式也相同，但两种运动有很多的不同，这可从振动的运动学特点和动力学特点两个方面来说明。 从运动学来说，两种振动的频率、振幅、初相、速度、加速度的情况都各不相同；从动力学来说，两种振动的受力情况、振动方程（动力学方程）以及振动的能量特点都各有不同。 2???2?M?m/3. k12kA为定值，不受外界影响，周期为振子的固有周期， 2稳态受迫振动：谐振过程中需不停地受外力作用，补充能量才能保证获得稳态受迫振动，周期为策动力的周期． 第5章 波动 无阻尼自由振动：谐振过程中E?一、选择题 1(C)，2(A)，3(A)，4(D)，5(C)，6(D)，7(D)，8(D)，9(D)，10(A) 二、填空题 (1). ?? (2). y1?Acos[2?t/T??]，y2?Acos[2π(t/T?x/?)??] (3). y1?Acos[?(t?L1/u)?π/4]，(4). 4 23 ?(L1?L2)u 2(5). R2/R12 (6). ??2πSw (7). 相同，2?/3 (8). Acos[2π(?t?x/?)?π]，2Acos(2πx/??11π)cos(2π?t?π) 22(9). y1??2Acos?t或，y1?2Acos(?t??)，v?2Asin?t (10). 461.5H，z7Hz 三、计算题 1.一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s自左向右传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为 y?0.3cos(4?t??) (SI),另一点D在A点右yy方9米处． uu (1) 若取x轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波 xx的表达式，并求出D点的振动方程． ADOAD (2) 若取x轴方向向右，以A点左方5米处的O点为x 轴原点，再写出波的表达式及D点的振动方程． y-图A解：该波波速u = 20 m/s，角频率 ? = 4? s1 u-1 则 k = 2???????????u = ???5? m． x (1) 任取一点P（图A），可得波的表达式为 DPyA y?0.3cos(4?t???kx) y?0.3cos(4?t????x/5) (SI) xl 以xD = -9 m 代入上式有 OA y?0.3cos(4?t???9?/5) ?0.3cos(4?t?14?/5) (SI) (2) 任取一点P（图B），可得波的表达式为 y?0.3cos[4?t????(x?l)/5] 以l = 5 m 代入, 有 y?0.3cos(4?t??x/5) 以xD = 14 m 代入上式, 有 yD?0.3cos(4?t?14?/5) (SI) 此式与(1) 结果相同. y (m) 7．如图2所示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 u = 0.08 m/s (1) 该波的波动表达式； x (m) P (2) P处质点的振动方程． O 0.20 0.40 0.60 -0.04 解：(1) O处质点，t = 0 时 图2 y0?Aco?s?0， 图BuxPD v0??A?sin??0 所以 ???又 T??/u? (0.40/ 0.08) s= 5 s 1? 2 24 [?(?故波动表达式为 y?0.04cos2t5t5x?)?] (SI) 0.42(2) P处质点的振动方程为 yP?0.04cos[2?(?0.2?3?)?]?0.04cos(0.4?t?) (SI) 0.422yuOx 3．一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅的圆频率分别为A和ω，波速为u，设t＝0时的波形曲线如图所示。 (1) 写出此波的波动方程。(y=Acon[(ωt –ωx/u)+x/2]) (2) 求距0点分别为λ/8，和3λ/8两处质点的振动方程。 (3) 求距0点分别为λ/8，和3λ/8两处质点在t＝0时的振动速度。 解：(1) 以O点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为 y0?Aco?s?0， v0??A?sin??0 1? 21[t?(?x/u)??] 波的表达式为 y?Acos?2 (2) x??/8 处振动方程为 1 y?Acos[?t?(2??/8?)??]?Acos(?t??/4) 2 x?3?/8 的振动方程为 3?/81??]?Acos(?t??/4) y?Acos[?t?2??21 (3) dy/dt???Asin(?t?2?x/???) 2 t = 0，x??/8处质点振动速度 1 dy/dt???Asin[(?2??/8?)??]??2A?/2 2 t = 0，x?3?/8处质点振动速度 1 dy/dt???Asin[(?2??3?/8?)??]?2A?/2 2所以 ?? y 4.一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为? ，波速 u 为u．设t = t＇时刻的波形曲线如图4所示．求 (1) x = 0处质点振动方程； O t=t′ x (2) 该波的表达式． 图4 2(??t??) 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 y?Acos由图可知，t = t＇时 y?Acos(2??t???)?0 dy/dt??2??Asin(2??t???)?0 所以 2??t?????/2 ， ??1??2??t? 2 25