由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r2 / a ④ 又根据已知条件 v0＝0
??12at， a＝2S / t2 ⑤ 222gt将⑤式代入④式得：J＝mr(－1) 2S∴ S＝
r T a T mg
3.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半径为r， 对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时 r 系统静止，试求t时刻滑轮的角速度． m2 m 1解：作示力图．两重物加速度大小a相同，方向如图.
m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a 设滑轮的角加速度为?，则 (T1－T2)r＝J? 且有 a＝r? ?由以上四式消去T1，T2得： rT2T1?m1?m2?grT2 ?? T1 a?m1?m2?r2?J a开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度．
m2gm1g?m1?m2?grt
??? t? 2
?m1?m2?r?J
4.物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示．今用大小为F的水平力拉A．设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J＝
可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已R 知F＝10 N，m＝8.0 kg，R＝0.050 m．求：
(1) 滑轮的角加速度； (2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B与滑轮之间的绳中的张力．
解：各物体受力情况如图． F－T＝ma T?＝ma (T?T?)R＝
1mR2．AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都2 B A ?F
B a＝R?
? T由上述方程组解得： a
T ??＝2F / (5mR)＝10 rad2s-2 A T＝3F / 5＝6.0 N T?＝2F / 5＝4.0 N
1mR2? 2 a ’ T ’ T F
11
5.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J =
m, l 12ml．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的3O 另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m?= 0.020 kg，v m? 速率为v = 400 m2s-1．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度?有多大？
(2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N2m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度?？
解：(1) 角动量守恒：
m?vl??ml2?m?l2?? ∴ ??＝15.4 rad2s-1
?1?3m?v???1??m?m??l?3?122 (2) 由转动定律，得： －Mr＝(ml＋m?l)?
3 0－??2＝2??
?1?22?m?m??l??3?∴ ??＝15.4 rad
2Mr
6.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J＝10 kg2m2 和 J＝20 kg2m2．开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静
AB止．C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A、B分别与
C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到C加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速n； ?A (2) 两轮各自所受的冲量矩．
解：(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒
JA?A＋JB?B = (JA＋JB)?，
又?B＝0得： ???? JA?A / (JA＋JB) = 20.9 rad / s 转速 n?200 rev/min (2) A轮受的冲量矩
负号表示与?A方向相反． B轮受的冲量矩 方向与?A相同．
??M?MAdt= JA(JA＋JB) = ?4.19310 2 N2m2s
?Bdt= JB(? - 0) = 4.193102 N2m2s
12
7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰
121L L L v0 O 1撞．碰撞点位于棒中心的一侧L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬
2时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时
2v0 12的转动惯量为ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)
3
解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为
?3L/20?v0xdx??L/20?v0xdx??v0L2?mv0L
212式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为
1?3?3?1?1? J???m?L??m?L?3?4?2??4?2?因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?22?72???mL?
12??1mv0L 2∴ ? = 6v0 / (7L)
8.如图所示，一长为l质量为M的匀质竖直杆可绕通过杆上端的固定水平轴O无摩擦地转动．一质量为m的泥团在垂直于轴O的图面内以水平速度v0打在杆的中点并粘住，求杆摆起的最大角度．
解：选泥团和杆为系统，在打击过程中，系统所受外力对O轴的合力矩为零， 对定轴O的角动量守恒，设刚打击后两者一起摆起的角速度为?，则有 ? 1lmv0?1lmv?J? ①
Omv0M12l
2其中 v???l/2 ②
2
在泥团、杆上摆过程中，选杆、泥团、地球为系统，有机械能守恒．当杆摆到最大角度??时有
?M?m?g1l?1?cos???1mv2?1J?2 ③
222联立解以上三式可得
2??3m2v0 ??cos?1??
????M?m3m?4Mgl???1四 研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一
质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
因为刚体的转动惯量
?r2i?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对
过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为
1mR2，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴213
的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答：
根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。
由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。
非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。
3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．
当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系．
dv解题：由质心运动定理:?Fr?mc
dt因Fr?? mg, 得 vc?vc0??g (1)
由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?
2d?, 得 ???0?3?gt (2) ?RFr?(mR2)3dt2R由(1),(2)两式可得 ???0?可得 ?0?3vc.?vc ??0 , 令 vc?0 ；2R3vc. 2R这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
第3章 狭义相对论 一、选择题
1(B)，2(C)，3(C)，4(B)，5(B)，6(D)，7(C)，10(D)，11(D)，12(C) 二、填空题 (1). c
-(2). 4.333108s
2(3).?? ?x/v , (?x/v)1?(v/c)
(4). c
14
(5). 0.99c (6). 0.99c
-(7). 8.893108 s (8).
13c 2--
(9). 5.831013, 8.043102 (10).
25mm,
9lSlS三、计算题
1.在惯性系K中，有两个事件同时发生在 x轴上相距1000 m的两点，而在另一惯性系K′
（沿x轴方向相对于Ｋ系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000 m．求在K＇系中测得这两个事件的时间间隔．
解：根据洛仑兹变换公式: x??x?vt1?(v/c)x2?vt22 ，t??t?vx/c21?(v/c)2
??可得 x21?(v/c)2?? ，x1x1?vt11?(v/c)2
在K系，两事件同时发生，t1 = t2，则
??x1?? x22x2?x11?(v/c)2 ，
??x1?)?∴? ???1?(v/c)?(x2?x1)/(x2解得 v?1 23c/2．
?和 t2?时刻， 在K′系上述两事件不同时发生，设分别发生于t1??则 t1t1?vx1/c21?(v/c)2??，t2t2?vx2/c21?(v/c)－
2
??t2??由此得 t1v(x2?x1)/c21?(v/c)2=5.77×106 s
-2.在K惯性系中，相距?x = 53106 m的两个地方发生两事件，时间间隔?t = 102 s；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K＇系中发生这两事件的地点间的距离?x＇是多少？
解：设两系的相对速度为v．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有 ?x? ?t??x??v?t?21?(v/c)2?t??(v/c)?x?2
1?(v/c)由题意： ?t??0
2可得 ?t?(v/c)?x
2及 ?x???x1?(v/c)
15