参考解答：
气体的算术平均速率公式： v?8RTRT， ?1.60π??在空气中有O2，N2，Ar，H2，CO2等分子，其中以H2的摩尔质量最小．从上式可知，
在同一温度下H2的v的较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层．H2摩尔质量? 最小，其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O2、Ar、CO2达到这一速度的分子数多。H2逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多．所以H2在大气中的含量最少．
4. 测定气体分子速率分布实验为什么要求在高度真空的容器内进行？假若真空度较差，问容器内允许的气体压强受到什么限制？
参考解答：
如果不是高度真空，容器内有杂质粒子，分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。假若真空度较差，只要分子的平均自由程?大于容器的线度L，即?>L，那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为:
kTkTkT???LP?, 所以要求 , 即 .
2?d2P2?d2P2?d2L这就是对于容器内压强的限制条件。
第11章 热力学基本原理
一、选择题
1(B)，2(C)，3(A)，4(B)，5(A)，6(C)，7(D)，8(C)，9(D)，10(A)
二、填空题
(1). 等于，大于，大于. (2). 不变，增加
(3). 在等压升温过程中，气体要膨胀而对外作功，所以要比气体等体升温过程多吸收一部分热量.
(4). ?|W1|，?|W2| (5). 500，700 (6). 8.64?10 (7). ??311 (或w??1) w?1?(8). 500，100
(9). 功变热，热传递
(10). 从几率较小的状态到几率较大的状态 ，状态的几率增大 (或熵值增加).
三、计算题
1. 温度为25℃、压强为1 atm的1 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至
46
原来的3倍． (普适气体常量R＝8.31 J?mol?K，ln 3=1.0986)
(1) 计算这个过程中气体对外所作的功．
(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？
解：(1) 等温过程气体对外作功为
3V03V0?1?1 W?V0?pdV?3V0V0?RTdV?RTln3 V =8.31329831.0986 J = 2.723103 J
(2) 绝热过程气体对外作功为
3V0 W?V0?pdV?p0V0?V0??V?dV
31???11?31?? ?p0V0?RT
1????1 ＝2.203103 J
2. 汽缸内有2 mol氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨胀，直至体
积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体．试求： (1) 在p―V图上大致画出气体的状态变化过程．
(2) 在这过程中氦气吸热多少？ (3) 氦气的内能变化多少？
(4) 氦气所作的总功是多少？(普适气体常量R=8.31 J?mol?K)
?1?1 p解：(1) p－V图如图．
(2) T1＝(273＋27) K＝300 K 1 2 据 V1/T1=V2/T2， 得 T2 = V2T1/V1＝600 K 3 Q =??Cp(T2?T1)
= 1.253104 J
VOV1V2 (3) ?E＝0
(4) 据 Q = W + ?E
∴ W＝Q＝1.253104 J
3. 1 mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，联结ac两点的曲线Ⅲ的方程为p?p0V/V0, a点的温度为T0
(1) 试以T0 , 普适气体常量R表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ过程中气体吸收的热量。
(2) 求此循环的效率。
22 p9p0 p0O bⅡ cⅢVⅠaV0
(提示：循环效率的定义式η=1- Q2 /Q1， Q1为循环中气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量。)
解：设a状态的状态参量为p0, V0, T0，则pb=9p0, Vb=V0, Tb=(pb/pa)Ta=9T0
47
p0Vc2p∵ pc? ∴ V?V0?3V0 cp0V02∵ pc Vc =RTc ∴ Tc = 27T0
3(1) 过程Ⅰ QV?CV(Tb?Ta)?R(9T0?T0)?12RT0
2 过程Ⅱ Qp = C p(Tc －Tb ) = 45 RT0
Va 过程Ⅲ Q?CV(Ta?Tc)??(p0V2)dV/V02
Vc ?p3R(T0?27T0)?02(Va3?Vc3) 23V0p0(V03?27V03) ??39RT0???47.7RT0 23V047.7RT0|Q|(2) ??1??1??16.3%
QV?Qp12RT0?45RT0 p (Pa)4. 一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已知
A气体在状态A的温度为TA＝300 K，求 300 (1) 气体在状态B、C的温度； 200 (2) 各过程中气体对外所作的功； 100 C B (3) 经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过V (m3)O程吸热的代数和)． 213
解：由图，pA=300 Pa，pB = pC =100 Pa；VA=VC=1 m3，VB =3 m3． (1) C→A为等体过程，据方程pA/TA= pC /TC?得
TC = TA pC / pA =100 K． B→C为等压过程，据方程VB/TB=VC/TC得
TB=TCVB/VC=300 K． (2) 各过程中气体所作的功分别为 A→B： W1?1(pA?pB)(VB?VC)=400 J． 2 B→C： W2 = pB (VC－VB ) = ?200 J． C→A： W3 =0 (3) 整个循环过程中气体所作总功为
W= W1 +W2 +W3 =200 J．
因为循环过程气体内能增量为ΔE=0，因此该循环中气体总吸热
Q =W+ΔE =200 J．
5. 一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为 127℃、低温热源温度为27℃时，其每次循环对外作净功8000 J．今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功 10000 J．若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求： (1) 第二个循环的热机效率；
48
(2) 第二个循环的高温热源的温度．
WQ1?Q2T1?T2 ??Q1Q1T1T1QT Q1?W 且 2?2
T1?T2Q1T1解：(1) ??∴ Q2 = T2 Q1 /T1
T1TT2＝24000 J ?2W?T1?T2T1T1?T2??W??Q2??W??Q2 ( ∵ Q2??Q2) 由于第二循环吸热 Q1??29.4％ ???W?/Q1T2 (2) T1???425 K
1???即 Q2?
6. 如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有一定量的刚性双原子分子的理想气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住．图中K为用来加热气体的电热丝，MN是固定在圆筒上的环，用来限制活塞向上运动．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是圆筒体积等分
刻度线，每等分刻度为 1?10 m3．开始时活塞在位置 M N Ⅰ，系统与大气同温、同压、同为标准状态．现将小砝码
Ⅰ 逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞到达位置Ⅲ时
停止加砝码；然后接通电源缓慢加热使活塞至Ⅱ；断开电Ⅱ 源，再逐步移去所有砝码使气体继续膨胀至Ⅰ，当上升的
Ⅲ 活塞被环M、N挡住后拿去周围绝热材料，系统逐步恢复K 到原来状态，完成一个循环．
(1) 在p－V图上画出相应的循环曲线； ～(2) 求出各分过程的始末状态温度； N (3) 求该循环过程吸收的热量和放出的热量．
解：(1) 系统开始处于标准状态a，活塞从Ⅰ→Ⅲ为绝热压缩过程，终态为b; 活塞从Ⅲ→Ⅱ为等压膨胀过程，终态为c；活塞从Ⅱ→Ⅰ为绝热膨胀过程，终态为d；除去绝热材料系统恢复至原态a，该过程为等体过程。该循环过程在p－V图上对应
p 的曲线如图所示。 (2) 由题意可知 pa=1.013×105 Pa ， b c －33
Va=3×10m， Ta = 273K，
－－
Vb=1×103m3， Vc=2×103m3 . ab为绝热过程，据绝热过程方程 TaVa??1?TbVb??1,(??7/5)，
d ?3V??1得 Tb?(a)Ta?424K
Vbbc为等压过程，据等压过程方程 Tb / Vb = Tc / Vc? 得 Tc? a O Vb Vc Va V VcTb?848 K Vb??1cd为绝热过程，据绝热过程方程 TcVc得 Td?(?TdVd??1,(Vd?Va)，
Vc??1)Tc?721K Vd49
(3) 在本题循环过程中ab和cd为绝热过程，不与外界交换热量; bc为等压膨胀过程，吸收热量为 Qbc=?Cp(Tc－Tb)
7R．又据理想气体状态方程有paVa= ?RTa， 27pV3可得 Qbc??aa(Tc?Tb)?1.65?10J
2Ta式中 Cp?da为等体降温过程，放出热量为 Qda??CV(Td?Ta)?
四 研讨题
1. 热力学中经常用到理想气体, 理想气体与热力学究竟是什么关系?
参考解答：
1.热力学的理论框架无需理想气体
热力学理论是普遍的,当然不依赖于理想气体.基础物理热力学的理论框架如下:
第一步:由热功当量实验得到了热力学第一定律，由热机与冷机分别得到了热力学第二定律的开尔文表述与克劳修斯表述；
第二步：由热力学第二定律导出卡诺定理，给出可逆机效率的表述；
第三步:由卡诺定理导出了克劳修斯等式与不等式，定义了熵S，建立了孤立系统熵增加原理。
热力学的理论框架, 显然并未用到理想气体。 2.理想气体在热力学中的作用
(1) 理想气体为热力学提供了一个简单的实例
任何普遍的理论要被人们所接受, 就必须有实例,例如在力学中, 要使人们接受势能的理论, 必须有“万有引力势能与弹簧势能”这种实例. 由于理想气体遵从状态方程和焦耳定律,因此理想气体就成了热力学中最简单的实例.
(2) 理想气体为测量热力学温度提供了一种简单的温度计
当可逆卡诺机的工作物质为理想气体时,以理想气体状态方程和焦耳定律为前提,由热力学第一定律和卡诺定理对可逆机效率的表述,可以论证用理想气体温度计就可以测量热力学温度,这体现了理想气体的重要性. 除此之外,还可以依据普朗克黑体辐射定律、聂奎斯脱噪声方程设计出辐射温度计、噪声温度计,来直接复现热力学温度. 但使用这些所谓‘绝对测量仪器’在技术上是十分繁难的,而且费用昂贵,所以不能普及.这也凸显了理想气体温度计的实用价值.
2. 冰融化成水需要吸热，因而其熵是增加的．但水结成冰，这时要放热，即dQ为负，其熵是减少的．这是否违背了熵增加原理？试解释之．
参考解答：
熵增加原理的表述是：在孤立系统（或绝热系统）中发生的任何不可逆过程，系统的熵必增大，只有对可逆过程，系统熵不变．
现在水结成冰要放热给环境，应该把水和环境组成孤立系统，在水结成冰的过程中要考虑整个系统的熵变，水的熵減少不违背熵增加原理．
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5paVa?(Td?Ta)?1.24?102J 2Ta