由上两式可得 ?x??[(?x)2?(c2?t/c)2]1/2?[?x2?c2?t2]1/2= 43106 m
3. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观d/2h测，
(1) 隧道的尺寸如何？ v Ld (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？
解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不变。
v2隧道长度为 L??L1?2
c (2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车全长所需时间为
L1?(v/c)2?l0L?l0? ? t?? vvv这也即列车全部通过隧道的时间.
4. 在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生?t =2s；而在另一惯性系S＇中，观测第二事件比第一事件晚发生?t?=3s．那么在S＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？
解：令S＇系与S系的相对速度为v，有 ?t???t1?(v/c)2， (?t/?t?)?1?(v/c)
-
22则 v?c?(1?(?t/?t?)2)1/2 ( = 2.243108 m2s1 )
那么，在S＇系中测得两事件之间距离为： ??x??v??t??c(?t???t)221/2= 6.723108 m
5. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式?t??t`1?(v/c)22，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)= 4(s)．
6.设有一个静止质量为m0的质点，以接近光速的速率v与一质量为M0的静止质点发生碰撞结合成一个复合质点．求复合质点的速率vf．
解：设结合后复合质点的质量为M′，根据动量守恒和能量守恒定律可得
m0v/1?v2/c2?M?vf M?c2?M0c2?m0c2/1?v2/c2
由上面二个方程解得 vf?m0v/(m0?M01?v/c)
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22
四 研讨题
1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？
参考解答：
牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。
牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。 牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换
x??x?vt,y??y,z??z,t??t. 狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换
vt?2xc. x??x?vt,y??y,z??z,t??2vv21?21?2cc比较上述两个变换式可知，在低速时，即v ??c时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。
2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？
参考解答：
同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。
这个结论与光速不变原理紧密相联。
设相对运动的惯性系是S(x0y)和S?(x?0?y?)，坐标系和相对运动如图所示，坐标原点0和0?重合时设为t?t??0。
由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为
v?t?2?xc ?t?? 2v1?2c如果在S系中两事件同时发生，即?t?0，那么在S?系中两事件的时间间隔
v?2?x ?t??c2v1?2c与两事件在S系中发生的空间间隔?x有关。当?x?0时，?t??0。即两事件在S?系中不同时发生。
如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。即洛仑兹变换中的
v2v?0. 2?0,cc2则 ?t???t，就不再有同时的相对性。
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3. 在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。
参考解答： 对的。
如果S系和S?系是相对于运动的两个惯性系。设在S?系中同一地点、同一时刻发生了
??x1??0,?t??t2??t1??0. 两个事件，即?x??x2将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中
v??x1?)?t??2(x2c ?t?t2?t1?
2v1?2c则可得 ?t?t2?t1?0，说明在S系中也是同时发生的。
这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。
4. 静长L 0的火车以匀速v行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止；乙是火车上的观测者，相对于火车静止. 甲观测到的长度L?L01?v2/c2< L0 ，即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩. 试从另一个角度来看长度收缩问题,即被测量者如何看待别人的测量,并讨论产生不同看法的原因.
参考解答：
当火车以匀速v行驶时,甲是地面上的观测者,相对于地面静止;乙是火车上的观测者,相对于火车静止. 以地面为S系,沿火车速度方向取x轴;以火车为S′系,沿火车速度方向取x′ 轴.甲是这样测量运动中的火车长度的：在S系的同一时刻（t2 = t1）,在地面划下火车前端A的位置x2和后端B的位置x 1 (如图1所示),然后测量x2和x1之间的距离L, 这就是甲测出的运动中的火车长度,即
L?x2?x1????(1) 对乙来说,火车是静止的,火车前端A的位置x′2和后端B的位置x′1之间的距离就是火车的静长
??x1?L 0 ,即 L0?x2????(2)
v2且 L?L01?2c????(3)
因v < c ,故由式(3)得出L < L0 , 即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩。 乙是如何看待上述甲的测量呢? 乙观测到, 甲在t′2时刻在地面上划下火车前端A的位置x2 , 在t′1时刻在地面上划下火车后端B的位置x1,由洛伦兹变换
v??t?x 2?22?c??1?v/c1v????t1??(t?t)?(x?x)有 t2 21212?22?c?1?v/c?t??1 18
1?v/c这个结果表明：t′2在先，t′1在后.也就是说,在乙看来,甲并不是同时划下火车前后端的位置的,而是先( t′2时刻) 划下火车前端A的位置x2 ,后( t′1时刻) 划下火车后端B的位置x1, 如图2所示.所以,乙认为,甲少测了一段长度,这段长度为
??t2?)?L?v(t1????(4) 将式(3)代入式(4)得
v2?L?2L0????(5)
c因此,乙认为,甲所测量的不是火车的长度, 而是比 火车短ΔL的某一长度：
L*?L0??L????(6)
将式(5)代入式(6)得
?v2?* L???1?c2??L0
??乙还观测到,地面上沿火车进行方向的尺缩短了,缩短的因子为1?v2/c2, 于是乙推知, 甲所观测到的火车长度应为
??t1???t2v/c222L??vL0?0c2????(3) L*v21?2c这正是甲测得的结果. 由以上的分析可见,在S系看来,甲的观测是正确的,火车的长度收缩是真实的. 在S′系看来,火车的长度是L0 ,并没有收缩, 而是甲的观测方法有问题(先测前端, 后测后端), 甲少测了一段长度ΔL ,加上甲的尺缩短了,两种因素合在一起,使甲得出火车长度收缩的结论.
第4章 振动
一、选择题
1(C)，2(B)，3(C)，4(E)，5(C)，6(D)，7(B)，8(D)，9(B)，10(C) 二、填空题
(1). ?、-?? /2分、???． (2). 2?2m/k、2?m/2k (3). x?0.04cos(?t?1?) ?
v2?1?2L0
c2(4). 0.04cos(4?t?1?)
2(5). x?2?10?2cos(5t/2?1?)
2(6). 0.05 m，-0.205?（或-36.9°） (7). 3/4，2??l/g
(8). 291 Hz或309 Hz
1-(9). 43102 m，? 2
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(10). 4:3
三、计算题
1．如图1所示，一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的 一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．
解：取如图x坐标，平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x0
mg?kx0 ①
设m在x位置，分析受力, 这时弹簧伸长x?x0 N T2?k(x?x0) ②
m 图1 T1由牛顿第二定律和转动定律列方程： mg?T1?ma ③ T1R?T2R?J? ④ a?R? ⑤ 联立解得 a?T2MgT1mgmx0xO
?kx (J/R2)?mkR2
J?mR2 由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为
??k?(J/R2)?m
2．在直立的U形管中装有质量为m = 240 g的水银（密度为? = 13.6 g/cm3），管的截面积为S = 0.30 cm2．经初始扰动后，水银在管内作微小振动．不计各种阻力．试列出振动微分方程，并求出振动周期．
解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力势能为0，则以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度v?时振动中水银的动能为
dx．这dt为x的一段水银柱到右臂，则有质量为S?x的水银升高了高度x）为S?gx2．因振动中机械能守恒
1mv2，水银的势能（看作两水银面相平的状态下，从左臂移高度21mv2?S?gx2?常量 2dv?2S?gxv?0 对t求导数可得 mvdtdx2?2S?gx?0 化简 m2dt
这就是简谐振动的微分方程． 由此可得振动角频率
x x O ??2S?g m20