《大学物理习题选编》牛顿运动定律
B??0IdR?0?0dERdE??2?5.6?10?7 c为光速。 2?R2dt2cdt
例1． 一轴承光滑的定滑轮，质量为M＝2.00 kg，半径为R＝0.100 m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m＝5.00 kg的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J＝
?0 R M12MR2，其初角速度 ?0＝10.0
rad/s，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到?＝0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和m
方向．
解：(1) ∵ mg－T＝ma 1分 TR＝J? 2分 a＝R? 1分 ∴ ??= mgR / (mR2＋J)? ＝81.7 rad/s2 1分 方向垂直纸面向外． 1分 (2) ∵ ???0?2?? 当?＝0 时， ??22mgR2mg ?1?2m?M?RmR2?MR22 ??0.612 rad 2?-
20T a T mg 物体上升的高度h = R???= 6.12×102 m 2分 (3) ??2???10.0 rad/s
方向垂直纸面向外.
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例2 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为
R M12MR2，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间
的关系．
m解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程
对物体： mg－T ＝ma ① 2分
对滑轮： TR = J? ② 2分 运动学关系： a＝R? ③ 1分 将①、②、③式联立得
a＝mg / (m＋
∵ v0＝0，
∴ v＝at＝mgt / (m＋
12M) 1分 R ? T
T Mmg a12M) 2分
例3．电荷面密度分别为+?和－?的两块“无限大”均匀带 -?+?电平行平面，分别与x轴垂直相交于x1＝a，x2＝－a 两点．设坐标原点O处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出其曲线． x -a +a O解：由高斯定理可得场强分布为：
E =-? / ?0? (－a＜x＜a)
1分
E = 0 (－∞＜x＜－a ，a＜x＜＋∞＝
由此可求电势分布：在－∞＜x≤－a区间
U??0xEdx???ax0dx????dx/?0???a/?0
?a0x0在－a≤x≤a区间
U??0xEdx?????0dx??x U ?0O +a x 在a≤x＜∞区间
U??0xEdx??0dx??xa0a???0dx??a - a ?0 图
例四：一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为??=Ar (r≤R)，式中A为常量．试求：
(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；
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(2) 选与圆柱轴线的距离为l (l＞R) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．
(1) 取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小 为E并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：
??R E?dS?2?rhE ?S为求高斯面内的电荷，r＜R时，取一半径为r?，厚d r?、高h的圆筒，
2 r 其电荷为 ?dV?2?Ahr?dr?
则包围在高斯面内的总电荷为 h r?V?dV??2?Ahr?2dr??2?Ahr3/3
0由高斯定理得 2?rhE?2?Ahr3/?3?0?
解出 E?Ar2/?3?0? (r≤R) r＞R时，包围在高斯面内总电荷为： R?V?dV??2?Ahr?2dr??2?AhR3/3
0由高斯定理 2?rhE?2?AhR3/?3?0?
解出 E?AR3/?3?0r? (r >R) (2) 计算电势分布 r≤R时 U??lRA2rEdr??r3?rdr?0?lAR3R3??dr 0r ?A?3R3?r3??ARl9?03?lnR 0r＞R时 U??lEdr?lAR3r?r3??dr?AR3lnl 0r3?0r
例5：如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面．且导线框的一个边与长直导线平行，他到两长直导线的距离分别为r1、r2．已知两导线中电流都为I?I0sin?t，其中I0和?为常数，t为时间．导线框长为a宽为b，求导线框中的感应电动势．
解：两个载同向电流的长直导线在如图坐标x处所产生的磁场为
B??02?(1x?1x?r?r) 122分
选顺时针方向为线框回路正方向，则
5分
2分
3分 2分
I I b r2 a r1 O x
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r1?br1?b ???BdS??0Ia2??0Ia2?(?r1dxx??r1dxx?r1?r2) 3分
?ln(r1?br2?b?) 2分 r1r2ln[(r1?b)(r2?b)dI]
r1r2dt∴ ???dΦ???0a2?dt ???0I0a?2?ln[(r1?b)(r2?b)r1r2]cos?t 3分
例6如图所示，长直导线中电流为i，矩形线框abcd与长 A 直导线共面，且ad∥AB，dc边固定，ab边沿da及cb以
? a 速度v无摩擦地匀速平动．t = 0时，ab边与cd边重合．设
i 线框自感忽略不计．
(1) 如i =I0，求ab中的感应电动势．ab两点哪点电势
d 高？ B l0 (2)如i =I0cos?t，求ab边运动到图示位置时线框中的
总感应电动势．
v b l2 l1 c ?
解：(1)?ab所处的磁场不均匀，建立坐标ox，x沿ab方向，原点在长直导线处，
则x处的磁场为 B?b?0i2?x ， i =I0 2分
沿a →b方向
l0?l1b??I?vIl?l1?? ???(v?B)?dl???vBdl???v00dx??00ln0 3
2?x2?l0aal0分
故 Ua?Ub? 1分
(2) i?I0cos?t，以abcda作为回路正方向，
l0?l1 ??上式中l2?vt， 则有 ??? ??Bl2dx?d?dt??ddtl0?l0?0il22?xdx 2分
l0?l1(??0il22?xdx)
?0I02?v(lnl0?l1l0)(?tsin?t?cos?t) 4分
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例7 求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定轴OO＇转动时的动生电动势．已知杆相对于均匀磁
??BO′?场B的方位角为?，杆的角速度为?，转向如图所示．
???? L解：在距O点为l处的dl线元中的动生电动势为 d???(v??B?)?dl?? 2分 v??lsin? 2分
∴ ???(?v?B?)?dl???vBsin(1?)cos?dlLL2 L ???lBsin?dlsin???Bsin2???ldl
0 ?12?BL2sin2? 3分
O
O′ B? ??dl??????v??B? l O