可将浅施主杂质弱束缚电子的基态轨道半径表示为
?0?rh2m17rn???ror??52.9?10?12=6?10-8m=60nm *2*0?mnqmn0.01512、GaN中常见杂质及缺陷的电离能如下表所示。详阅此表并回答后列各问题。 杂质或空位 Si C Mg Zn Hg 电 离 施主 0.012－0.02 0.11－0.14 0.26, 0.60 能 受主 0.19 0.89 0.14－0.12 0.21－0.34 0.41 (eV) Cd 0.55 Be 0.7 Li 0.75 Ga 0.59－1.09 VN 0.03, 0.10 VGa 0.14 1）表中哪些杂质属于双性杂质？
2）表中还有哪些杂质可能跟这些杂质一样起双重作用，未发现其双重作用的可能原因是什么？
3）Mg在GaN中起施主作用的电离能为什么比Si、C施主的电离能大，且有两个不同值？
4）Ga取N位属何种缺陷，有可能产生几条何种能级，其他能级观察不到的可能原因是什么？
5）试针对此表再提出两个问题并解答之。
答：1）按表中所列，Si、C、Mg皆既为施主亦为受主，因而是双性杂质。
2）既然II族元素Mg在N位时能以不同电离能0.26eV和0.6eV先后释放其两个价电子，那么表中与Mg同属II族元素的Be、Zn、Cd、Hg似也有可能具有类似能力，I族元素Li更有可能在N位上释放其唯一的外层电子而起施主作用。现未发现这些杂质的施主能级，原因可能是这些元素释放一个电子的电离能过大，相应的能级已进入价带之中。
3）Mg在GaN中起施主作用时占据的是N位，因其外层电子数2比被其置换的N原子少很多，因此它有可能释放其它价电子，但这些电子已为它与最近邻Ga原子所共有，所受之约束比Si、C原子取代Ga原子后多余的一个电子所受之约束大得多，因此其电离能较大。当其释放了第一个电子之后就成为带正电的Mg离子，其第二个价电子不仅受共价环境的约束，还受Mg离子的约束，其电离能更大，因此Mg代N位产生两条深施主能级。
4）Ga取N位属反位缺陷，因比其替代的N原子少两个电子，所以有可能产生两条受主能级，目前只观察到一条范围在价带顶以上0.59eV?1.09eV的受主能级，另一能级观察不到的原因可能是其二重电离（接受第二个共价电子）的电离能太大，相应的能级已进入导带之中。（不过，表中所列数据变化范围太大，不合情理，怀疑符号?有误，待查。）
5）其他问题例如：
为什么C比Si的电离能高？答：因为C比Si的电负性强。
Li代Ga位应该有几条受主能级？答：Li比Ga少两个价电子，应该有两条受主能级。
13、同样是与GaP形成固溶体，为什么用禁带较窄的InP构成的GaInP所能达到的最宽直接禁带反而比用禁带较宽的GaAs构成的GaAsP所能达到的最宽直接禁带更宽？
答：这是由于禁带极值的位置造成的，虽然InP禁带较窄，但是其与GaP都是间接带隙，固溶体能带并非随组 分线性变化，更多是连续的非线性变化，所以并不能单单凭借组分禁带的宽窄来判断固溶体禁带的宽窄度。
14、为什么固溶体禁带宽度随组分比变化的曲线往往具有不圆滑的转折特征？
答：由于固溶体组分的禁带在X和L处极值之差造成的。例如Ge和Si的导带在X处的极小值能量相差不大，而在L处的极小值能量相差很大。随着Ge组分比的增加，Ge x Si l-x 固溶体的X极值下降不多，L极值下降却比较多，一直到x≈0.85左右才下降到与X极值齐平，所以会呈现不光滑的转折特性。
15、参照图1-25和表1-6，分别用窄禁带化合物和窄禁带固溶体设计两种超晶格
答：1)GaAs禁带宽度为Eg=1.424eV，晶格常数为0.56535nm，选择晶格常数接近的AlAs有较小的失配数，AlAs晶格常数为0.56614nm，固溶体Al x Ga 1-x As的禁带宽度为Eg=1.424+1.247x
2)同样的道理可选择:InAs和GaSb或Ga x In 1-x As和GaAs y Sb 1-y
16、参照图1-30，在超晶格的微带效应中，导带底电子的有效质量有无变化，如何变化？
答：微带效应引起的能带结构变化不仅是能带分裂，还有第一子能带带底的提升。如果被分裂的这个能带是势 阱层材料的导带，第一子能带带底的提升即意味着势阱层材料导带
?2底的提升，也即其禁带的展宽。由于带底电子有效质量m?2所以在超晶格的微带效
dEdk2*n应中，导带底电子的有效质量变大了。
第二章 半导体中的载流子及其输运性质
1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E－EC）的状态数Z由式（2-20）给出。 证明：设导带底能量为面，即
2k32??2?k12?k2E(k)?EC????2?mml?t??
EC，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球
与椭球标准方程
2k12k12k2???1a2b2c2
相比较，可知其电子等能面的三个半轴a、b、c分别为
2m(E?E)a?b?[t2c]2? 2m(E?E)c?[l2c]2?
于是，K空间能量为E的等能面所包围的体积即可表示为
11442V??abc?2?(8mlmt)2(E?EC)233?
因为k空间的量子态密度是V/(4π3)，所以动能小于（E－EC）的状态数（球体内的状
态数）就是
13(8mlmt2)1/2Z?2V(E?EC)3/233??
1
2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。 证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量mp轻和mp重表示。价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。即：
3/2V(2mp轻)1/2gV(E)1?(E?E)V2?2?3 3/2V(2mp重)gV(E)2?(EV?E)1/2232??
价带顶附近的状态密度
gV(E)?gV(E)1?gV(E)2即：
3/23/2(2m)V(2mp轻)Vp重1/2(EV?E)1/2(E?E)V2323gV(E)?2???+2?
V(EV?E)123232?[(2m)?（2m）]p重P轻22? 2?
只不过要将其中的有效质量mp*理解为
3/23/22/3m*p?(mp轻?mp重)则可得：
32(2m*?[(2mp轻)32?（2mp重)3/2]p)带入上面式子可得：
*3/2V(2mp)gV(E)?(EV?E)1/2232??
3、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决
定。
解：非简并半导体的价带中空穴浓度p0为
p0??EV'EV(1?fB(E))gV(E)dE
带入玻尔兹曼分布函数和状态密度函数可得
*321(2mp)p0?2?2?3?EVE'Vexp(E?EF)(EV?E)12dEK0T
令
x?(EV?E)(K0T),则
(EV?E)12?(K0T)12x12
d(EV?E)?k0Tdx将积分下限的E'V（价带底）改为-∞，计算可得
p0?2(令
m*pk0T2??2)32exp(EV?EF)K0T
NV?2(则得
m*pk0T2??2)32?232(2?m*pk0T)h3
P0?NVexp(?EF?EV)k0T
4、当E－EF=1.5kT、4kT、10kT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据这些能级的几率，并分析计算结果说明了什么问题。
f(E)?解：已知费米分布函数
11?eE?EFkT；玻耳兹曼分布函数fB?e?E?EFkT
当E－EF=1.5kT时：
f(E)?1?0.1824?1.51.5f?e?0.223； 1?eB，
当E－EF=4kT时：
f(E)?1?0.01799?41?e4，fB?e?0.0183；
当E－EF=10kT时：
f(E)?1?5?4.54?10?10?5f?e?4.5?101?e10B，；
计算结果表明，两种统计方法在E－EF＜2kT时误差较大，反之误差较小；E－EF高于kT的倍数越大，两种统计方法的误差越小。
5、对非简并半导体证明其热平衡电子和空穴密度也可用本征载流子密度ni和本征费米能级Ei表示为
n0?niexp(EF?EiE?EF)p0?niexp(i)kTkT；
证明：因为导带中的电子密度为：
n0?NCexp(?EC?Ei)kT
EC?EF)kT
本证载流子浓度为
ni?NCexp(?结合以上两个公式可得：
n0?NCexp(?EC?EFE?Ei?EC?Ei)?NCexp(F)kTkT
?NCexp(?EC?EiE?EiE?Ei)exp(F)?niexp(F)kTkTkT
p0?NVexp(EV?EF)kT
因为价带中的空穴密度为：
本证载流子浓度为
ni?NVexp(EV?Ei)kT
同理可得：
p0?niexp(Ei?EF)kT
6、已知6H-SiC中氮和铝的电离能分别为0.1eV和0.2eV，求其300K下电离度能达到90%
的掺杂浓度上限。
解：查表2-1可得，室温下6H-SiC的Nc=8.9×1019cm-3，Nv=2.5×1019cm-3。 当在6H-SiC中参入氮元素时： 未电离施主占施主杂质数的百分比为
D??(将此公式变形并带入数据计算可得：
2ND?E)exp(D)Nck0T
D?Nc?ED0.1?8.9?10190.1ND?()exp(?)?()exp(?)?9.523?1016cm?32k0T20.026
当在6H-SiC中参入铝元素时： 未电离受主占受主杂质数的百分比为
D??(将此公式变形并带入数据计算可得：
4NA?E)exp(A)NVk0T
D?NV?ED0.1?2.5?10190.2NA?()exp(?)?()exp(?)?2.85?1014cm?34k0T40.026
7、计算施主浓度分别为1014cm-3、1016cm-3、1018cm-3的硅在室温下的费米能级（假定杂质
全部电离）。根据计算结果核对全电离假设是否对每一种情况都成立。核对时，取施主能级位于导带底下0.05eV处。 解：因为假定假定杂质全部电离，故可知带底的位置表示为
n0?NCe?EC?EFkT?ND，则可将费米能级相对于导
EF?EC?kTlnNDNC
将室温下Si的导带底有效态密度NC=2.8×1019 cm-3和相应的ND代入上式，即可得各种