(b) 代入相容方程，不满足相容方程，不是可能的解答 (c) 代入相容方程，不满足相容方程，由此求得的位移分量不存在 4. 解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：
（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件。 （a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F, D=-E 此外，还应满足应力边界条件。
（b）为了满足相容方程，其系数必须满足A + B = 0
为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A = B =－C/2 上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。 5. 解：在主要边界x= 0，b，应精确满足下列边界条件：
x?0 σx???gy, ?xy?0;x?l σx?0, ?xy ??q。在小边界y = 0，列出三个积分的边界条件，当板厚??1时，
3F,?02b3F (?)xdx??b,?0yy?04bF(?)dx??。?0yxy?02b(?y)y?0dx??对于y = h的小边界可以不必校核。
6.（1）,
（2）（
,（4）
,
,
3
）
(也可用三个积分的应力边界条件代替)
7. 解：应用上述应力函数求解： (1)代入相容方程，
满足。
(2)求应力分量，在无体力下，
σx?A?6Cxy?6Dy,σy?0,
?xy??(B?3Cy2)。（3）考察边界条件，在主要边界(y??b/2),
y??b/2, σy?0, 满足； ?xy3??q, B?Cb2?q.4(a)
在小边界x= 0,
?h/2?h/2(σx)x?0dy??F， b/2-b/2 (Ay?3Dy2)F??F,得A ?? .b
??h/2?h/2(σx)x?0ydy??M,b/2-b/2y2 (A?2Dy3)2h/2?h/2??M,得D??2M;3b
(?xy)x?0dy??F， b/2-b/2 ?(By?Cy3)1F??F，得B?Cb2?。(b)4b再由(a),(b)式解出
C?2F13F(q?), B??(q?). b2b2b代入，得应力解答，
F12F12M??2(q?)xy?3y,?bbbb??σy?0,?
?13F6F2??xy?(q?)?2(q?)y。?2bbb?σx??8. 解：首先检验Φ，已满足▽4Φ = 0。由 Φ 求应力，代入应力公式得
????2Bsin2??2C?,???2Bsin2??2C?,
再考察边界条件。注意本题有两个φ面,即φ= ±π/2，分别为±φ面。 在±φ面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。
?????2Bcos2??C。
因此，有
(??)????2?0,(???)????2??q,得C?0;得B??q2。
代入公式，得应力解答，
???qsin2?,????qsin2?,
9. 解：应力函数Φ应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数
C?q2(tan???)。????qcos2?。
得出的应力解答是
q?(α?φ?sinφcosφ?tanαsin2φ),?tanα?α?q?2σφ?(α?φ?sinφcosφ?tanαcosφ),?tanα?α?q?τρφ?(sin2φ?tanαsinφcosφ)。?tanα?α? σρ? 在截面 mn上，正应力和切应力为
q?(α?φ?sinφcosφ),??tanα?α?q2?τxy??sinφ。?tanα?α? σx?10、 解：用半逆解法求解。 （1） 假设应力分量的函数形式。
因为在 y=-b/2边界上，σy=0，y=b/2边界上，σy=ρ2gx，所以可假设在
区内σy沿x 向也应是一次式变化，即 σy = x f ( y )
（2） 按应力函数的形式，由 σy 推测 Φ 的形式，
?2Φ σy?2?xf(y),?x?Φx2则 ? f(y)?f1(y) ,? x2x3 Φ?f(y)?xf1(y)?f2(y).6
（3） 由相容方程求应力函数。代入▽4Φ = 0得
x3d4fd4f1d4f2d2f?x??2x?0.44426dydydydy 要使上式在任意的x处都成立，必须
d4f?0 , 得 f?Ay3?By2?Cy?D;4dyd4f1d2fA5B4?2?0, 得 f??y?y?Gy3?Hy2?Iy;142dydy106d4f2?0 , 得 f2?Ey3?Fy2.4dy
代入Φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。 （4）由应力函数求解应力分量。将Φ代入式(2-24) ,注意体力fx=ρ1g，fy=0，求得应力分量为
?2ΦB σx?2?xfx?x3(Ay?)?y3 ?x(?2Ay3?2By2?6Gy?2H)?(6Ey?2F)??1gx,?2Φσy?2?yfy?x(Ay3?By2?Cy?D),?x?2Φx2τxy????(3Ay2?2By?C)?x?y2A2B3 ?(y4?y?3Gy2?2Hy?I).23
（5）考察边界条件：
主要边界y = ± b / 2上,有
(σy )y?b/2b3b2b???2gx, 得 x(A?B?C?D)???2gx; (a)842b3b2b?0, 得 x(?A?B?C?D)?0;842(b)(σy )y??b/2x23b2(?xy )y??b/2?0, 得 ? (A ?Bb?C)24b4b33b2 ?(A?B?G?Hb?I)?0.32124
由上式得到
3b2A ?Bb?C?0 (c,d)4b4b33b2A?B?G?Hb?I?0 (e,f)32124
求解各系数，由
b21(a)?(b)得 B? D???2g, 42b3b1(a)?(b)得 A?C???2g , 8221(c)?(d)得 B ?0, D? ??2g , 23b2(c)?(d)得 A?C?0。 4
由此得
A?23?g, C???2g。 23b2b
又有
(e)?(f)得 H?0，b43b2(e)?(f)得 A?G?I?0 .324
代入 A ,得
b3b2I??2g?G . 164(g)
在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：
???b/2?b/2b/2(σx )x?0dy?0, 得 F?0 ;(σx )x?0ydy?0, 得 E?0 ;bb2(?xy )x?0dy?0, 得 I??2g?G . (h)804
?b/2b/2?b/2 由式(g),(h)解出
I??b1?2g, G??2g . 8010b
代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：