Py=
23?0??3?10??????yx??y??yz?n＇=???1?0 31?0 3n均为零，也即：
Pz=
??2zx??yz??z?n＇=????8????3??11???10?所以知，该斜截面上的全应力Pn及正应力σn、剪应力τ
Pn =σn = τn = 0
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx=ax+by，σy=cx+dy-γy ， τxy=-dx-ay；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。 xO解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件： OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τxy=0
β代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay 并注意此时：x=0
n得：b=-γ1；a=0；
βOB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0
??xcos???xysin??0则：………………………………（a） ??cos???sin??0y?yx将己知条件：σx= -γ1y ；τ入（a）式得：
xy=-dx
γγ1y； σy=cx+dy-γy代
BAy??1ycos??dxsin??0??????dxcos???cx?dy??y?sin??0
化简（b）式得：d =γ1ctg2β；
化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctg3β
?b??c??1260???32—17.己知一点处的应力张量为6100?10Pa
????000??试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103 σy=10×103 τ且该点的主应力可由下式求得：
2?12?10?12?10??223?1.2????????xy????6??102?2??2??2???
317.083?1033?11?37?10??11?6.0828??10??Pa?4.91724?103xy=6×10
3
，
?x??y??x??y?2??
3则显然：?1?17.083?10Pa?2?4.917?103Pa?3?0
σ1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
tg2???2?xy?x??y??2???6??12???612?102sin2???
cos2??显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）
2—19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τσ3并求出σ2的主方向。
解：由2—11题计算结果知该题的三个主应力分别为：
zx=b，试计算出主应力σ1、σ2、
?1?a2?b2；?2?0；?3??a2?b2；
设σ2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和σ2值代入下式即可求出σ2的主方向来。
?l21??x??2??l22?yx?l23?xz?l23?xz?0???l21?yx?l22??y??2??l23?yz?l23?zy?0???l21?zx?l22?zy?l23??z??2??l21?yx?l22?zy?0以及：l21?l22?l23?1222?1??2??3?
?4?
l21alb??；22??； l22bl21a由（1）（2）得：l23=0 由（3）得：
将以上结果代入（4）式分别得：l21?1?l?1??22??l21?b222?1?b?1?????a?2?aa?b22；
l22?1?l?1??21??l22?2?1?a?1?????b?2?a?b；
babaa??l21??l22?l22??同理l21??
2222aa2?b2ba?ba?b于是主应力σ2的一组方向余弦为：（?aa?b22，
ba?b，?22，0）；
σ3的一组方向余弦为（?2—20.证明下列等式：
2b2a2?b2，?2a2a2?b22）； 2
（1）：J12=I2+23I1； （3）
：I12??2??ii?kk??ik?ik?； 证明（1）：等式的右端为： I1213??????22?I11?2??2?33?1??3??1??2??3?
?13??221??2??23?2?1?2?2?2?3?2?3?1????1?2??2?3??3?1? ?26??222?461??2??3?6??1?2??2?3??3?1??6??1?2??2?3??3?1??26???21??222??3??1?2??2?3??3?1?? ?16???21?2?1?2??22??22?2?2222?3??3??3?2?3?1??1???16????2?2???21??2????2??33??1????J2
故左端=右端 证明（3）：I12??2??ii?kk??ik?ik? 右端=
12??ii?kk??ik?ik? ?12???2?22z?222x?y???2?xy??yz??zx????x??y??z???x??y??z??? ?12???2x??2y??2z?2??2xy??2yz??2zx???2x??2y??2z?2??x?y??y?z??z?x??? ?????222x?y??y?z??zx??xy??yz??zx??I2
?u?a0?a1x?a2y?a3z2—28：设一物体的各点发生如下的位移。??v?b?0?b1x?b2y?b3z
?w?c0?c1x?c2y?c3z式中a0、a1………c1、c2均为常数，试证各点的应变分量为常数。
证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：
?x??u?x?a1
；
??v?y?b?u?vy??w2；?z??z?c3；?xy??y??x?b1?a2??v?wyz??u?z??y?c2?b3； ?zx??y??w?x?a3?c1；
2—29：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。
（1）：???u??3x2?20??10?2 在（0，2）点处；
??v??4yx??10?2；
?u??6x2?15??10?2??（2）：?w??3z2?2xy??10?2 在（1，3，4）点处
??2v?8zy?10????解（1）：
?u?v?v?u??0?4y?10?2 ??x?6x?10?2 ??y?4x?10?2 ?xy??y?x?y?x在（0，2）点处，该点的应变分量为: ?x??y?0；?xy?8?10?2；
?040?写成张量形式则为：?ij??400??10?2；
????000??
解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。
?x??z??v?u?8z10?2?32?10?2 ?12x10?2?12?10?2； ?y??y?x?u?v?w??0 ?6z10?2?24?10?2； ?xy??y?x?z?v?w???8y???2x??10?2??24?2??10?2?22?10?2 ???z?y?yz??zx??w?u????2y?0?10?2??6?10?2； ?x?z用张量形式表示则为：
?120?3???10?2
?ij??03211?????31124??
2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中a、b、c均为常数）
?c?x2?y2?cxy0???2cxycy0? (1):?ij????000????
1?222?axy0ax?by????2??1(2): ?ij??0ax2yaz2?by2?? ???2?1?12222??ax?by??az?by?0??2?2???c?x2?y2?zcxyz0???2cxyzcyz0? (3): ?ij????000????解（1）：由应变张量εij知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0 而εx、εy、ε
坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。 将εx、εy、ε
xyxy及ε
yx又都是x、y代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：
22?2?x??y??xy 也即：2c+0=2c 知满足。 ?2??y2?x?x?y所以说，该应变状态是可能的。
解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：
???22???y?2?z??yz??2?2?z?y?y?z???2?z?2?x?2?zx??2?2??x?z?z?x??………………………………（1） 2??x?????zx??xy??yz??????2?x??y?z?x??y?z??2??y?????xy??yz??zx????2???y??z?x?y??z?x??2??z?????yz??zx??xy???????2?z??x?y?z??x?y??22?2?x??y??xy?2??y2?x?x?y