oa边：y?xtg?,l?cos?90?????sin?;m?cos?;Fx?Fy?0
则：?????2cx?6dxtg??sin??2cxtg??cos??0??2cxtg??sin??pxtg??cos??0?a? b??pctg?； 2p2代入(b)式得：d??ctg?；
3由（c） 式得：c?所以（a）式变为：
??x?pxctg??2pyctg2???y??py ???xy??pyctga?
第六章 平面问题的极坐标解
6-3:在极坐标中取??Alnr?Cr2,式中A与C都是常数。（i）：检查?是否可作应力函数？（ii）：写出应力分量表达式？（iii）：在r=a和r=b的边界上对应着怎样的边界条件？
解：首先将?式代入???0式，其中：
4??1?A?2Cr;?rr41??A?2?2C;r?rr?2?A???2C;22?rr???0,???2??0.2????21?1?2??AA??????2C???2C?0故： ???????0; 2??rr?rr2??2??r2r???故：? 式可作为应力函数。应力分量为：
1??1?2?A?r??2??2C;r?rr??2r2?2?A???2??2?2C;?rr1??1?2??r??2??0;r??r?r??
?a??b??c?aA+2Ca2A+2Ca2b对于右图所示圆环，上述应力分量对应着如下边界条件：
当r=a时（内环）：（l=-1, m=0.）
Fr???r?A????2C??;F????r?r?a2a???0;
r?a
当r= b时（外环）：（l=1，m=0.）
Fr??r?A??F???r?r?b?2?2C?;?b?2?0;
r?b6-5：试确定应力函数??cr?cos2??cos2??中的常数c值。使满足题6-5图中的条件：（1）在???面上,???0?r??s;（2）在???? 面上,???0 ?r???s;并证明楔顶不有集中力与力偶作用。
4nαsααoθsxαyn 解：首先将?式代入???0式，知其满足,故可做为应力函数。相应的应力分量为： ?????2cr?cos2??cos2??;??2cr2sin2?;?r???2???4crsin2?;则得:?r???2??2c?cos2??cos2??;?r2?2???4cr2cos2?;2??1??1?2??r????2c?cos2??cos2???????????????a?r?rr2??2?????2?2c?cos2??cos2????????????????????b?
?r2?r?1??1???2??2csin2??????????????????c?r??r?r??2边界条件：当???时，???0.?r??s;则：?2c?cos2??cos2???0得0?0.自动满足
s;????时.???0,?r???s;当?2c?cos??2???cos2???0.
2sin2?s因cos?????cos?,则0?0,2csin??2????2csin2???s得c?;故得：
2sin2?2csin2??s.得:c?sr2?cos2??cos2??;??2sin2??e?
?r?
?s?cos2??cos2??;???s?cos2??cos2??;?r??s?sin2?sin2?sin2?sin2??f?
由（e）式可知，该应力函数在r=0处并不适用 ，所以（f）式也不反映o点处的应力状态。如果我们以a为半径截取一部分物体为研究对象（见右图示），并假设在o点处存在集中力Rx、Ry、及集中力偶Mo,那么这部分物体在Rx、Ry、Mo、以及s、?r和?r?这一力系的作用下应保持平衡状
RyαRxoMoyαsaτrθσrxs态。但事实上，由于s及?r力的作用线都通过o点，?r?及?r、s的分布又都对称为x轴，
?所以当考虑?Mo?F??0,及?Fy?0两平衡条件时，要求Mo?Ry?0否则该物体将不
平衡。
Ry????rsin???r?cos??rd??0;Mo?????rsin???r?cos??r2d??0
??????如果存在Rx ，则由楔形尖项处承受集中载荷的应力的讨论知（8-25）式，在楔形体内就一定存在有随r和?而变化的应力分量?r。然而我们在上述讨论中所得结果（f）中第一式中，并不存在随r而变化的这部分?r应力，所以要求Rx?0。因此知，在楔顶（就题8-5图所示问题）不存在集中力与集中力偶的作用。
???Rx??????rcos???r?sin??rd???2srcos???与边界力s平衡???
?
（F?=0）和大小等于
ccF??的负的切向面力分量.（θ以逆时针转向为正）。如?a2a2果将内圆环上的切向面力分量F?对中心点0取矩，则得：F??2?a?a??c2?2??a?M.故：2ac?M；于是上式得： 2??r?0;???0;?r??M????????????????a? 22?r?M；Fr?0； 22?a①则当r=a时，对于内环边界对应着面力分量：F??当r=b时，对于外环边界对应着面力分量：F??M；Fr?0； 22?b②如果：r=a（内环），r=b→∞.则为一无限大平板上挖有一半径为a的圆孔。在孔壁上作用有切向面力分量：F???M； 22?a③如果：r=a→0，r=b→∞，则为一无限大平板，在o点作用有一集中力偶M。
第七章 柱体的扭转
7-1：试用半逆解法求圆截面柱体的扭转问题的解。
解：圆截面柱体，设其半径为a，则圆截面的边界的方程为：x?y?r?a???a?
2222设柱端作用有扭矩MT。采用半逆解法。据材料力学的有关理论知，该问题的应力解为：
?x??y??z??yx??xy?0;?zy?Ax;?zx??Ay;或?r?????z??zr??rz???r??r??0;?z????z?Ar;所以由边界方程、上述应力分解以及?zx?????????;?zy??或:?z?????;并设?y?x?n?r的应力函数为: 满足?c?0?设边界r?a???r??Br2?a2??????????????????????a???x,y??Bx?y?a???????????????????b?222????
上(a)、(b)式中的B为待定常数。将(a)(b)分别代入应满足的应变协调方程得：
??????1?????2?2?2???2G??????????????c?
r?r?x?y?r2222得：B??G?;故???1G??r2?a2?;212???1G?x2?y2?a2?????d? 2??将(d)式代入MT?22?1?222式得：?dxdyM?2???G?????xdxdy???ydxdy?a??dxdy? T???2?因：
??xdxdy??a44;??ydxdy?2?a44;??dxdy??a;MT?2?G?a42;得:??2MT 4?Ga
???MT2MT2222r?a??x?y?a???????????????????e? 44?a?a????由(e)式求得应力分量如下：
??2M?zx???4Ty;?y?a位移分量为：u????zy????2MT22?zy???x;???????z?zxzy全?x?a4??12????2MT?r;?r?a42MT?zy;4G?a122v??zx?2MT?zx;4?Gaw?0;
或： S?u?v由式: ?xy??2??2MT?zr;4?Gaw?0;
?u?w1???v?w1???w??;?yz????;及上u、v式得:?0,?y?xG?y?z?yG?x?x?w?0。积分得：?y
w?f?y?,w?f1?x? 只能等于一常数w0，而w0就是圆柱体在z方向的刚性位移，略去刚性
只能等于一常数w0,而w0就是圆体在y方向的刚性位移略去,则w?0 位移，则w?0。
7-10：求边长为2a的等边三角形截面柱体的极限扭矩。
d
c g
a
fo e
b
解：做出边长为2a的等边三角形的三棱锥体如右图。显然：
ab?bc?ca?2a,ae?eb?bf?fc?cg?ga?a, eo?fo?go?atg30??3a; 3设:od=h, 则: tg??3h3haK ? 令: tg??K，则: h?3eo3a故: Ms?2V?2?123?2a?23aK?2a3K;上式中K为纯剪屈服应力。 Sh??33433弹性力学-学习指南
一、单选题：（每题2分，共40分）
1. 下列对象不属于弹性力学研究对象的是（ ）
A杆件 B板壳 C块体 D质点 2. 所谓“完全弹性体”是指（ ）。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律
B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关 C. 物理关系为非线性弹性关系
D. 应力应变关系满足线性弹性关系 3. 下列哪种材料可视为各向同性材料（ ）
A木材 B竹材 C混凝土 D夹层板