解（1）：由于是藻壁圆管且
t<<1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状r态，即σr=0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：
???qrqr??2； ??1；?r?0??3；?z?2tt若采用 Tresca屈服条件，则有：
2qrqr故得：?s?； 或：?s?；
t2t若采用mises屈服条件，则有：
?max??s??s??1??32?????r2?qr； 2t2?s2?6?s2???1??2????2??3????3??1?
??????z????z??r????r????
22?qrqr??qr??qr?3qr； ????????????2t2t2tt2t??????222222222故得：?s?3qrqr； 或：?s?； 2t2t
yy
hphp2 z2xohhMM22
b
解（2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）
?x?PMy???1 FJz?y??z??2??3?0
且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知y??得：?1??x?h 2P6M；?2??3?0 ?bhbh2若采用Tresca屈服条件，则有：
?max??s?1?6MP??bh?h?s2??1??32?P6M???2?bhbh?1?； ?2??； ?故得：?s?1?6M???P?； 或：s??2bh?h?若采用mises屈服条件，则有：
2?s2?6?s2???1??2????2??3????3??1?故得：?s?222?P6M??2?12?2??2?
?bhbh?21?6MP??bh?h1?6M???P?；或：s??h3bh????； ?一般以σs为准（拉伸讨验）
第五章 平面问题直角坐标解答
5-2：给出??axy；（1）：捡查?是否可作为应力函数。（2）：如以?为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。（坐标如图所示） 解：将??axy代入???0式
yτyz=-aτxy=-aox4得：????0 满足。 故知??axy可作为应力函数。 求出相应的应力分量为：
22hh22?x????????0?????a； ???0；；xyy?y2?x?y?x2222l上述应力分量?x??y?0；?xy??a在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。
5-4：试分析下列应力函数对一端固定的直杆可解出什么样的平面问题。
3F?xy3?q2???xy?2??y；
4c?3c?2解：首先将函数?式代入???0式知，满足。故该函数可做为应力函数求得应力分量为：
2aPcdxcFblyc?2?3F?2x?x?2???2?y4c?c3F?2??y??q?q?3xy；?y?2?0；
2c?x??2?3F?y2?12F?h2F?h22?2??xy????1????y???y??????；
?x?y4c?c2?2h3?42J4??z?显然上述应力分量在ad边界及bc边界上对应的面力分量均为零，而在ad边界上则切向面
力分量呈对称于原点o的抛物线型分布，指向都朝下，法向面力为均布分布的载荷q。 显然法向均布载荷q在该面上可合成为一轴向拉力p且p=2cq；而切向面力分量在该面上则可合成为一切向集中力：
h??6F36F?h2h2F??Fdy????xydy??3??hdy??h2y2dy??y3??h?242?3h2F?h3h3?6Fh2?hh?F3F??3??????????F?3?h?88?4h?22?222?h2h2?h2h26Fh2?y3?h24hh2?hh2
而cd边界则为位移边界条件要求，u=0，v=0，w=0以及转角条件。
由以上分析可知，该应力函数对于一端固定的直杆（坐标系如图示），可解决在自由端受轴向拉伸（拉力为p=2cq）和横向集中力F作用下的弯曲问题。（如图示）
5-6：已求得三角形坝体的应力 为：
??x?ax?by???cx?dy?y ??????dx?ay??xyx?xy???xz??xz??zy??yz??z?0其中γ为坝体的材料容重，γ1为水的容重，试据边界条件求出常数a、b、c、d的值。 xo n
β
β
γy γ BA
y
解：据图示列出水坝OA边界和OB边界面上的应力边界条件： OB边：x=0 , l=cos(180°)=-1 ， m=0 , Tx=γy , Ty=0
1故得：?????x?Tx??1y????xy?Ty?0?a? ?b??c? ?d?OA边：x=ytgβ ，l=cosβ, m=cos (90°+β)=-sinβ , Tx=Ty=0
???xcos???xysin??0故有： ????yxcos???ysin??0将?xx?0?ax?by?by代入（a）式得：b???1；
将：?xyx?0??ay代入（b）式得：???ay??0 得a=0；
2将?x、?xy代入（c）式得：d??1ctg???； 3将?y、?yx代入（d）式得：c??ctg??2?1ctg?；
5-7：很长的直角六面体，在均匀压力q的作用下，放置在绝对刚性和光滑和基础上，不计体力。试确定其应力分量和位移分量。 x q
h
y o bb
解：由题意知，该问题为一平面应变问题。由于不计体力所以平面应力与平面应变的变形协调方程是一样的，故可取一单位长度的直角六面体来研究其应力状态。当求知应力分量函数后，再由平面应变的本构关系求得应变分量，进一步积分再利用有关位移边界条件确定积分常数后求得位移分量。
这里我们采用逆解法，首先据题目设应力函数??ay显然?式满足双调和方程式
2?4??0。相应应力分量为：?x?2a，?y?0，?xy?0 显然直角六面体左右两面的应
力边界条件自动满足。
?q； 2q对于底边：y=0 , l=-1,m=0,Tx=q , Ty=0 同样定出：a??；
2对于项边：y=h , l=1,m=0,Tx=-q , Ty=0 则可定出：a?因此满足该问题所有应力边界条件的解为：
?x??q，?y?0，?xy??yx?0
应这分量为：
?1?v?vq??01?v2v2?1?x??x?q，?y?，xy
EEE
?v2?1?u?Eqx?f?y??A??1?v?vqy?fx?B ?积分得：?v?1??E??w?0??利用位移边界条件确定积分常数：
（1） 当x=0 , y=0 时，u=0 则：A=0 （2） 当x=0 , y=0 时，v=0 则：B=0 （3） 当x=0 时，u=0 则：f (y)=0 （4） 当y=0 时，v=0 则：f1(x)=0 因此知该问题的位移分量为：
?1?v?vqy ； v2?1u?qx； v?w?0
EE
5-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。而梁的比重为p，试用纯三次式：
??ax3?bx2y?cxy2?dy3的应力函数求解应力分量?
2oαx90°+α αnay解:显然?式满足???0式,可做为应力函数,相应的应力分量为:
???x?2cx?6by?2????y??py?6ax?2by?py?……………………（a）
?x?2????xy????2bx?2cy??x?y?边界条件：
ox边：y=0 , l=0 ,m=-1, Fx=Fy=0 则：2bx=0 得：b=0
-6ax=0 得：a=0