述正六棱柱体的圆柱体，在π平面上的屈服曲线是一外接于前述的正六变形的圆。
28. 在塑性状态下区分加载与卸载有什么意义？如何区分加载与卸载？理想弹塑性材料和应变硬化材料的加载与卸载有什么差别？什么是中性变载？ （1）理想塑性材料(（
）=0）的加载和卸载准则：在荷载改变的过程中，
应力点如保持在屈服面上，则,此时塑性变形可以任意增长，就称为加
载。当应力点从屈服面移动到屈服面内，则d?<0,表示状态从塑性退回到弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。 （2）硬化材料（
,K）=0）的加载和卸载准则：如果应力变化d
使应力点
从此时瞬时状态所处的后继屈服面向内移，则变化的结果使材料从一个塑性状态退回到一个弹性状态，即为卸载过程。如果应力变化d
使应力点沿后
继屈服面变化，实验证明此过程也不产生新的塑性变形，所以参数K也不变，dK=0，此过程称为中性变载。如果应力
和参数K都变化，使材料从一个塑
性状态过渡到另一个塑性状态，应力点从原来的后继屈服面外移到相邻的另一个后继屈服面时即为加载。
29. 什么是后继屈服面？等向（各向同性）硬化？运动（随动）硬化？混合硬化？根据Bauschinger效应，应该采用什么硬化模型？为什么等向（各向同性）硬化更为普遍？
（1）后继屈服面：在复杂应力状态下，由于会有各种应力状态的组合能达到初始屈服或后继屈服，在应力空间中这些点的集合而成的面就称为后继屈服面。
（2）等向硬化：不考虑静水应力和Bauschinger效应，该模型假定后继屈服面在应力空间中的形状和中心位置O保持不变，但随着塑性变形的增加，而逐渐等向的扩大。
（3）随动硬化：考虑Bauschinger效应，假定材料在塑性变形的方向OP+上被硬化（即屈服值增大），而在其相反方向OP-上被同等地软化了（即屈服值减少），这样在加载过程中，随着塑性变形的发展，屈服面的大小和形状都不变，只是整体的在应力空间中作平移。
（4）混合硬化：把随动硬化模型和等向硬化模型结合起来，即认为后继屈服面的形状，大小和位置一起随塑性变形的发展而变化。 （5）根据Bauschinger效应，应该采用随动硬化模型 （6）由于等向硬化的模型在数学上处理比较容易，它是广泛采用的硬化模型。 30. 什么是全量（形变）理论？为什么要发展全量理论？什么是简单加载？伊留辛弹塑性小变形理论有哪些假定？其本构方程的形式如何? 适用于哪些条件
下？Nadai理论和Hencky理论有哪些假定？各适用于什么条件？
（1）全量理论：在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系，建立在这个关系上的理论称为全量理论。
（2）简单加载;是指在加载过程中物体内每一点的各个应力分量接比例增长的。
（3）伊留辛弹塑性小变形理论有哪些假定：（1）体积变化是弹性的，即应变球张量和应力球张量成正比。(2)应变偏张量和应力偏张量成比例（3）应力强度是应变强度的确定函数
其本构方程的形式：
; ,；该式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律。
（4）Nadai理论：考虑了有限变形和硬化，但总变形中仍不考虑弹性变形。Hencky理论：不计弹性变形，也不计硬化。
31. 什么是增量（流动）理论？与全量理论有什么区别？为什么要发展增量理论？Lévy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论各有什么假定，各适用于什么条件？
增量理论：在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率）和应力及应力增量（或应力率）之间的关系，这类理论称为增量理论。
Lévy-Mises理论：应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成比例即
(d
式中的系数d决定于质点的位置和荷载水平。
Prandtl-Reuss理论：将Lévy-Mises理论关系式推广到应用塑性平面应变问题，他考虑了塑性状态的变形之中的弹性变形部分，并认为弹性变形服从广义的胡克定律。
32. 什么是塑性势理论？塑性势理论的基本假定是什么？假定塑性势理论等于屈服函数，可以得到什么样的结果？什么是正交法则?
(1)如果我们引进塑性势函数g，由于塑性变形的特点，函数g不仅应力状态有关，而且和加载历史有关，我们用一个硬化参数K表示加载历史，则塑性势函数可表示为g=g(
,K)
(2)屈服函数f=塑性势函数g(即屈服面和塑性势面重合)则得：这
样就把屈服条件和塑性本构关系联系起来考虑，所得到流动法则称为联合流
动法则。
33. 什么是极限荷载？对于三杆所组成的系统，如何计算其变形和极限荷载？变形与加载顺序有无关系？极限荷载与加载顺序有无关系？ 极限荷载：材料发屈服或破坏前所能承受的最大载荷。
对于三杆系统，当三杆所受的载荷均达到极限载荷时，系统达到极限载荷。因此在计算其变形和极限荷载时，先对系统整体进行受力平衡分析，求出杆与杆之间的应力和变形之间的关系，在联立变形协调方程，即可求解。 变形与加载顺序有关 极限荷载与加载顺序无关
35. 对于厚壁筒问题和带圆孔的无限大板，如何计算弹性和塑性状态下的应力以及极限荷载？
弹性状态下的应力以及极限荷载：首先联立轴对称问题下的应力分量表达式和相应的边界条件，求出应力分量的具体表达式。在与极限载荷比较即可。（详见课本4-6节和4-8节）
塑性状态下的应力以及极限荷载：
36. 岩土塑性力学有哪些特点？什么是扩容？剪胀？非稳定材料？弹塑性耦合？什么是压硬性？等压屈服性？什么是帽子模型？为什么要发展帽子模型？什么是相关联的流动法则？非关联的流动法则？ 岩土塑性力学特点：（1）在传统塑性力学中，一般认为体积变化是弹性的，而对岩土类介质则明显不符，试验表明不仅静水压力可以引起岩土塑性体积变化，而且偏应力也可能引起塑性体积变化（称为剪胀）
（2）传统塑性力学的屈服准则是建立在剪切屈服的基础上的，而岩土屈服准则不仅考虑剪切屈服，还要考虑体积应变屈服。 （3）在转统塑性力学中只考虑符合Drucker公设的所谓稳定材料，不允许出现软化阶段，而岩土塑性力学不受稳定材料的限制，也可考虑软化阶段的所谓不稳定材料。（
4）传统塑性力学中，主要考虑塑性势函数和屈服函数相一致的所谓联合流动法则，这时塑性应变增量和屈服面时正交的。而岩土塑性力学中往往还考虑塑性势函数和屈服函数不一致的所谓非联合流动法则，这时塑性应变增量方向和塑性势面正交，而和屈服面不正交。
（5）传统塑性力学中，材料的弹性系数和塑性应变无关，弹，塑性不耦合，而岩土塑性力学中有时要考虑弹性系数随塑性变形的发展而变化的弹，塑性耦合现象。
中南大学
第二章 应力理论和应变理论
2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
T4解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知
n σx = -10 σy = -4 τxy = -2 2（以上应力符号均按材力的规定） τ°δ°y30°代入材力有关公式得：
303010?30???x??y2??x??y2Oxτxy10cos2???xysin2?x?10?4?10?413?cos60?2sin60??7?3??2?2222??6.768?6.77(MPa)?x??y?10?4?30??sin2???xycos2???sin60?2cos602231??3??2???3.598?3.60(MPa)22
代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ
xy = +2
δy题1-3图?30???x??y2?(?x??y2)cos2???xysin2??10?4?10?413?cos60?2sin60??7?3??2?2222??6.768?6.77(MPa)
?x??y?10?4?30???sin2???xycos2????sin60?2cos602221?3??2??3.5983.60(MPa)22由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E，横截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变εz与杆的总伸长量Δl。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：
c截面的内力：Nz=γ·A·z ；
c截面上的应力：?z?Nz??A?z????z； AA所以离下端为z处的任意一点c的线应变εz为：
?z??zE??zE；
则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：
lz???d??l????z?dz??zzz?zEdz??E?zdy?z?z22E；
显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：
l ??d??l??l??l22E???A?l?l2EA?W?l；（W=γAl） 2EAz
odzlzcNzxo题1—6图?500300?800???
0?3002—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =?300?????800?3001100??应力单位为kg／cm2 。 试确定外法线为ni｛111，，｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总333n 。
应力Pn、正应力σn及剪应力τ
解：首先求出该斜截面上全应力Pn在x、y、z三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nz Px=
25?3??8?10??????x??xy??xz?n＇=???1?0 3