不相交。
2、【证明】完全替代品指消费者愿意以固定比例用一种商品替代另一种商品。在完全替代情况下，商品的边际替代率MRS为非零常数，无差异曲线是一条直线。存在完全替代时，消费者对商品相对价格的变动非常敏感，一般会购买价格较低的那种商品。
商品的边际替代率可以表示为：MRS12???X2MU1?，根据已知的效用函数可知，?X1MU2商品X1,X2的边际效用分别为：MU1?dUdU?20(x1?x2)，MU2??20(x1?x2)。 dx1dx2MU120(X1?X2)??1。MU220(X1?X2)因此，该消费者消费商品X1,X2的边际替代率为：MRS12?由于商品X1,X2边际替代率为1，因此，对该消费者来说，商品X1,X2之间存在完全替代的特性。
3、【证明】（1）如图2-8所示，不妨假设预算线AB斜率为﹣1，切点E坐标(Qx,Qy)。由于E点为U(Qx,Qy)与AB线的切点，所以在E点有MRSXY?PX，而在E点左上方有
PYMRSXY?PX，E点右下方有MRSXY?PX，其中，PX?1。
PYPYPY Y A a Qy O Qx E b B U(Qx,Qy) U’(Qx,Qy) X 图2-8消费者均衡 （2）在E点左上方，如a点，a点与U(Qx,Qy)没有交、切点，只与U1(Qx,Qy)有交点a。由图2-8可知，在a点MRSXY?PX，不妨设MRS?1/0.5?PX?1，则从不等
XYPYPY式右边看，消费者减少1单位Y可获得1单位X；从不等式左边看，消费者减少消费1单
位Y只需多消费0.5单位X即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位Y多消费1单位X，就可用X弥补少消费Y的损失后还额外多获得0.5单位X的效用，因而
使总效用增加。这时，理性的消费者一定会再多购些X少购些Y，可见a点不是最优组合。
（3）在E点右下方（如b点），b点与U(Qx,Qy)没有交、切点，只与U1(Qx,Qy)有交点b，在b点MRSXY?PX，不妨设MRS?0.5/1?PX?1。此时，从不等式右边看，
XYPYPY消费者减少1单位X可获得1单位Y；从不等式左边看，消费者减少消费1单位X只需多
消费0.5单位Y即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位X多消费1单位Y，就可用Y弥补少消费X的损失后还额外多获得0.5单位Y的效用，因而使总效用增
加。这时，理性的消费者一定会再多购些Y少购些X，可见b点也不是最优组合。 （4）可见E点左上、右下方都没有最优商品组合点，所以，E本身就是最优商品组合点。
（5）由于E点是消费者效用最大点，且在预算线上，所以E点即为消费者均衡点。
4、【证明】消费者效用最大化的一阶条件：MU1p1?。其中，MU1?q2，MU2?q1。MU2p2将边际效用函数代入一阶条件，可以得到：
q2p1?，将上式代入预算约束方程，可以得到：q1p2q1?yy和q2?。 2p12p2
六、计算题
1/31、【解析】根据无差异曲线方程y=80-3x，可以得到其斜率为dy/dx=-x-2/3。
（1）当x＝27时，斜率dy/dx=-x-2/31/3=-1/9，故无差异曲线y=80-3x在（27，
71）点的斜率是﹣1/9，边际替代率为1/9。
（2）当x＝64时，斜率dy/dx=-x-2/31/3=-1/16，故无差异曲线y=80-3x在（64，
68）点斜率是﹣1/16，边际替代率为1/16。
（3）点（27，71）的边际替代率为1/9，而点（64，68）的边际替代率为1/16，因而该无差异曲线存在边际替代率递减的可能性。
此外，由于边际替代率MRSxy=-dy/dx=x-2/3，而边际替代率导数为
(x-2/3)'=-2-5/3x＜0，所以该无差异曲线存在边际替代率MRSxy递减规律。 32、【解析】（1）为使三门课的预期成绩总分最高，该学生应用三天复习数学，两天复习英语，一天复习经济学。
（2）该题可以运用消费者效用最大化条件解答。在6天的时间预算约束下，为了使分数最高，学生应该选择最优的时间组合，使得三门功课的时间安排符合以下的条件：学生复习每一门功课的最后一天边际分数相等。该学生复习每门功课的边际分数如下表所示。
天数
0 1 2 3 4 5 6
数学分数 英语分数 经济学分数 30 40 70 14 12 10 21 10 8 10 8 2 8 7 1 5 6 1 2 5 1 所以当用三天看数学，两天看英语，一天看经济学时，每一门功课的边际分数都为10，这时的总分最高为75+62+80=217分，其他的组合都不能达到这个分数。
3、【解析】（1）消费者1无差异曲线如图2-9所示。
U1
图2-9 消费者1无差异曲线 消费者1的无差异曲线如图2-9中的U1曲线。
（2）消费者1的预算约束方程：120?2x?3y。根据消费者效用最大化的一阶条件：
MU1p1?。其中，MU1?y，MU2?x。将边际效用函数和商品价格代入一阶条件，MU2p2可以得到：
y2?。将上式代入预算约束方程，可以得到：x?30，y?20。 x3（3）根据效用函数的性质：效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可以得到：lnu2??lnx??lny，令
???,??1??，因此lnu2??lnx?(1??)lny?u3。
因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的。
（4）消费者2的预算约束方程：I?p1x?p2y。根据消费者效用最大化的一阶条件：
MU1p1???1?。其中，MU1??x??1y，MU2??x?y。将边际效用函数和商品价格代MU2p2入一阶条件，可以得到：?yp1?I?。将上式代入预算约束方程，可以得到：x?，?xp2(???)p1
y??I。
(???)p2（5）消费者3的偏好和消费者2的偏好相同，因此消费者3的最优化问题和消费者2是相同的。
消费者3的恩格尔曲线方程为：x??Ip1，其中x的价格p1为常数，恩格尔曲线方程就
是x商品的收入—消费途径，x商品的收入—消费途径如图2-10所示：
I P1 0 γ x
图2-10 消费者3的商品x的收入—消费途径
4、【解析】（1）李四的预算约束方程为：5000?10x?10y。根据消费者效用最大化
1433MU1p134?。其中，MU1?14x13y，MU2?34xy。将边际效用函数MU2p2的一阶条件：
和商品价格代入一阶条件，可以得到：
14y10?。 34x10将上式代入预算约束方程，可以得到：x?8756，y?21256。
（2）政府提供2000元的食品兑换券，消费者效用最大化时，食品消费量不能低于200单位。
假设政府提供该居民2000元的食品兑换券为2000元现金，此时李四的预算约束方程为：
7000?10x?10y，则李四的最优消费组合为：x?12256，y?29756。
从李四的最优消费组合可以知道，x?12256?200，即李四不仅消费了2000元的食品兑换券，还花费1253单位收入用于食品消费。因此，x?12256，y?29756为政府提供2000元食品兑换券后的最优消费组合。
【归纳总结】在这种情况下，政府提供2000元的食品兑换券和2000元的现金有相同的福利效应，此结论与特定效用函数相关。如果效用函数发生改变，则食品兑换券和现金补
贴有不同的福利效应。
5、【解析】（1）消费者均衡的一阶条件为：MU1P12?，其中MU1?2x1x2，MU2?x1，MU2P2可以得到：再联立消费者预算约束：可以得到：P1x1?2P2x2。P1x1?P2x2?m，
x1?2m3P1，
x2?m3P2。
由于
dQ2mdQ2??2?0，因此食品对消费者来说不是吉芬商品；由于??0，因dpdm3p13p此食品对消费者来说不是低档物品。
（2）在政府补贴前，消费者的预算约束方程为：150?2x1?x2，消费者的最优消费组合为：x1??2?150150?50，x2???50。 3?23?1在政府补贴后，消费者的预算约束方程为：150?x1?x2，消费者的最优消费组合为：
x1??2?150150?100，x2???50。 3?13?16、【解析】（1）消费者的最大化问题即：在收入约束下，消费者效用最大化，其数学规
划表述为：
MaxU(x1,x2)?(lnx1?2lnx2)3s.t_p1x1?p2x2?m（2）消费者均衡的一阶条件为：
12MU1P1?，其中MU1?，MU2?，可以
33x1x2MU2P2得到：2P1x1?P2x2。再联立消费者预算约束：P1x1?P2x2?m，可以得到：x1?m3P1，
x2?2m3P2。
（3）当价格p1?p2?1时，x1?尔曲线如图2-11所示：
m2m，x2?。与价格集相对应的两种商品的恩格33