你的高考——导数与其应用精选
导数定义
?x2例1．y?f(x)???ax?b?x2思路：y?f(x)???ax?bx?1?x?1 在x?1处可导，则a? b? x?1x?1 在x?1处可导，必连续lim?f(x)?1
x?1x?1limf(x)?a?b f(1)?1 ∴ a?b?1
lim??y?y?2 lim??a ∴ a?2 b??1
?x?0?x?x?x?0例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h)（1）lim； （2）lim
?h?0?h?0h2h分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x?a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变
形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）limh?0f(a?3h)?f(a?h)f(a?3h)?f(a)?f(a)?f(a?h) ?limh?02h2hf(a?3h)?f(a)f(a)?f(a?h)?limh?0h?02h2h3f(a?3h)?f(a)1f(a?h)?f(a)?lim?lim
h?0h?023h2?h31?f'(a)?f'(a)?2b22?lim?f(a?h2)?f(a)?f(a?h2)?f(a)?lim?h? （2）lim2h?0h?0hh??f(a?h2)?f(a)?lim?limh?f'(a)?0?02h?0h?0h
例3．观察(x)??nxnn?1，(sinx)??cosx，(cosx)???sinx，是否可判断，可导的
奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
f(x??x)?f(x)?f?(x)
?x?0?xf(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)?lim f?(?x)?lim
?x?0?x?0??x??xf(x??x)?f(x) ?lim???f?(x)
?x?0??解：若f(x)为偶函数 f(?x)?f(x) 令lim
1
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：f??[f(?x)]??f?(?x)?(?x)???f?(x)
已知函数f(x)在定义域R上可导，设点P是函数y?f(x)的图象上距离原点O最近的点.
(1) 若点P的坐标为(a,f(a)), 求证：a?f(a)f(a)?0;
'(2) 若函数y?f(x)的图象不通过坐标原点O, 证明直线OP与函数y?f(x)的图象上点P处切线垂直.
证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )， 设F(x) = x2 + f 2 ( x ), 则F'(x)=2x +2f (x)f ' ( x )
已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点，
∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值
∴ F'(a)=0， 即 2a+2f (a)f ' (a)=0
f(a)，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f ' (a) a 由(1)知f (a)f '(a) = – a，
f(a)∴图象不过原点，∴a ? 0，∴f '(a) = –1
a∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.
利用导数证明不等式
例6．求证下列不等式
(2) 线段OP的斜率为
x2x2?ln(1?x)?x?（1）x? x?(0,??)（相减） 22(1?x)（2）sinx?2x? x?(0,?2)（相除）
（3）x?sinx?tanx?x x?(0,?2)
x21x2?1) f(0)?0 f?(x)??1?x??0 证：（1）f(x)?ln(1?x)?(x?21?xx?1∴ y?f(x)为(0,??)上? ∴ x?(0,??) f(x)?0 恒成立
x2x2?ln(1?x) g(0)?0 ∴ ln(1?x)?x? g(x)?x?2(1?x)2 2
4x2?4x?2x212x2g?(x)?1????0 221?x4(1?x)4(1?x)x2?ln(1?x)?0恒成立 ∴ g(x)在(0,??)上? ∴ x?(0,??) x?2(1?x)（2）原式?sinx2?? 令 f(x)?sinx/x x?(0,) cosx?0 x?2x?tanx?0
??cosx(x?tanx)?(0,)? f(x)?0 ∴ x?(0,)222x?22x f()? ∴ sinx?
2??∴ f?(x)?（3）令f(x)?tanx?2x?sinx f(0)?0
(1?cosx)(cosx?sin2x)f?(x)?secx?2?cosx?
cos2x22∴ tanx?x?x?sinx
x?(0,?) f?(x)?0 ∴ (0,?2)?
（理做）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有f?(x)?1?2lnx?2a，x?0，
xx故F(x)?xf?(x)?x?2lnx?2a，x?0，于是F?(x)?1?2?x?2，x?0，
xx列表如下：
x F?(x) F(x) (0，2) 2 0 极小值F(2) (2，?∞) ? ? 2)内是减函数，在(2，?∞)内是增函数，所以，在x?2处取得极小值故知F(x)在(0，F(2)?2?2ln2?2a．
（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)?2?2ln2?2a?0．
?∞)，恒有F(x)?xf?(x)?0． 于是由上表知，对一切x?(0，?∞)内单调增加． 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，所以当x?1时，f(x)?f(1)?0，即x?1?ln2x?2alnx?0．(利用单调性证明不等式）
故当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1．
（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0
a?b)<(b-a)ln2. 2 3
．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),f'(x)?1?1，令f'(x)?0，解得x=0，1?x当-1
a?b)?(b?a)ln2 22（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点
x1、x2，且x1?x2
4
（I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性；（II）证明：f?x2??1?2In24a2x2?2x?a?(x??1) 解: （I）f??x??2x?1?x1?x 令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为x??21。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个2均大于?1的不相等的实根，其充要条件为????4?8a?0，得1?g(?1)?a?00?a?2
⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数； ⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数； （II）由（I）g(0)?a?0,??12?x2?0，a??(2x22+2x2) ?f?x22??x2?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?
设h?x??x2?(2x2?2x)ln?1?x?(x??12)，
则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x? ⑴当x?(?12,0)时，h??x??0,?h(x)在[?12,0)单调递增；
⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。
?当x?(?12,0)时,h?x??h(?12)?1?2ln24 故f?x1?2In22??h(x2)?4．
已知函数f(x)?x，g(x)?ln(1?x)，h(x)?x1?x. （1）证明：当x?0时，恒有f(x)?g(x);
（2）当x?0时，不等式g(x)?kxk?x(k?0)恒成立，求实数k的取值范围; 解：（1）设F(x)?f(x)?g(x)，则F'(x)=1?11?x?x1?x ， 当x?0时，F'(x)?0，所以函数F(x)在（0，??)单调递增，又F(x) 在x?0处连续，所以F(x)?F(0)?0，即f(x)?g(x)?0，
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