f(x)
极大值6
极小值-26
所以，f(x)的极大值是f(?1)?6，极小值是f(3)??26.
（Ⅱ）f(x)?3x?6ax?9a的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 若
'221?a?1,则f'(x)在[1,4a]上是增函数，从而 4f'(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1)?3?6a?9a2,最大值是f'(4a)?15a2.
由|f(x)|?12a,得?12a?3x?6ax?9a?12a,于是有
'22f'(1)?3?6a?9a2??12a,且f'(4a)?15a2?12a.
14?a?1,由f'(4a)?12a得0?a?. 3511414所以a?(,1][?,1][0,],即a?(,].
43545由f(1)??12a得?'若a>1,则|f(a)|?12a?12a.故当x?[1,4a]时|f(x)|?12a不恒成立. 所以使|f(x)|?12a(x?[1,4a])恒成立的a的取值范围是(,].
'2''1445a?x21???lnx?a?R,x?[,2]? 已知函数f(x)=x2??1(Ⅰ)当a?[?2,)时, 求f(x)的最大值;
4(Ⅱ) 设g(x)?[f(x)?lnx]?x2, k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k?1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)当-2≤a<显然-1≤x1<
1?1?4a1?1?4a1时，由f'(x)=0得x1=,x2?. 422?1??1?11, ?x?x1??x?x2?x2 当 1≤x≤x2时，f'(x)≥0，f(x)单调递增； 2当x2 2a1?1?4a1?1?4a??ln 221?1?4a21 1?1?4a. 27(Ⅱ)答: 存在a?(??,]符合条件 4=-1?4a?ln解: 因为g(x)?[f(x)?lnx]?x2=ax?x3 不妨设任意不同两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，其中x1?x2 3y1?y2a(x1?x2)?(x2?x13)2则k???a?(x12?x1x2?x2) x1?x2x1?x222由 k?1知:a? 1+(x1?x1x2?x2) 因为 3?7?222)??,13?， ?3x12?x12?x1x2?x2?3x2?12，所以1+(x12?x1x2?x24?4?7故存在a?(??,]符合条件。 4 已知函数f(x)?ln(e?a)(a?0). （1）求函数y= f(x)的反函数y?f?1x(x)及f(x)的导数f?(x); ?1 （2）假设对任意x?[ln(3a),ln(4a)],不等式|m?f数m的取值范围. 解：（1）?e?0,?y?lna,?y?fx?1(x)|?ln(f?(x))?0成立，求实 ?x??ln?ex?a?,?x?lna?； ex1y??x?1?x e?ae?a（2）x?[ln(3a),ln(4a)],不等式|m?f?1(x)|?ln(f?(x))?0 ?f?1?x??lnf??x??m?xf?1?x??lnf??x?exexx?lne?a?lnx?m?lne?a?lnxe?ae?a????exex?ae2x?a2exex?ae2x?a2m?ln?m?ln?e? ?xxxxe?aee?aet?t?a?t2?a2,v?t??,t?ex,t??3a,4a? 令：u?t??t?at?????? 22 t2?a2t2?2at?a2v??t???0,t??3a,4a?,u??t???0 2t(t?a)212a,v(t)的最58128mm小值为v(3a)?a,而不等式②成立当且仅当u(4a)?e?v(3a),即a?e?a，于 353128是得 ln(a)?m?ln(a). 53所以u(t),v(t)都是增函数.因此当t?[3a,4a]时，u(t)的最大值为u(4a)?解法二：由|m?f?1(x)|?ln(f?(x))?0得 ln(ex?a)?ln(ex?a)?x?m?ln(ex?a)?ln(ex?a)?x. 设?(x)?ln(e?a)?ln(e?a)?x,?(x)?ln(e?a)?ln(e?a)?x, 于是原不等式对于x?[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于?(x)?m??(x). ③…7分 xxxxexexexex?x?1,??(x)?x?x?1，注意到 由??(x)?xe?ae?ae?ae?a0?ex?a?ex?ex?a,故有??(x)?0,??(x)?0，从而可?(x)与?(x)均在 [ln(3a),ln(4a)]上单调递增，因此不等式③成立当且仅当 ?(ln(4a))?m??(ln(3a)).即 ln(128a)?m?ln(a). 53【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较 简单. w.w.w.设函数f(x)?ex?e?x． （Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2； （Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． 解：（Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?ex?e?x． 由于ex?e-x≥2exe?x?2，故f?(x)≥2． （当且仅当x?0时，等号成立）． （Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则 g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a， 23 （ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?ex?e?x?a?2?a≥0， 故g(x)在(0，∞?)上为增函数， 所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax． a?a2?4（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为x1?ln， 2此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数． 所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，2?． k.s.5.u.c.o.m 导数与数列 已知函数f(x)?x2?x?1，设a1?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；an?1?an?f(an)（n=1,2,……） f'(an) （1）求?,?的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有an>a； （3）记bn?lnan??（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。 an?a解析：（1）∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)， ∴???1?5?1?5； ,??22115a(2a?1)?(2a?1)?nnna?an?144 ?an??an?22an?12an?12n （2）f'(x)?2x?1，an?154=(2an?1)?1415?15?1，∵a1?1，∴有基本不等式可知a2??0（当且仅当a1?2an?1222?5?15?15?1，……，an?， ?0同，样a3???（n=1,2,……） 222(a??)(an??)an?? （3）an?1???an???n?(an?1??)，而?????1，即??1???， 2an?12an?1时取等号），∴a2? 24 (an??)2(an??)21??3?53?5an?1???，同理an?1???，bn?1?2bn，又b1?ln?ln2?ln2an?12an?11??23?5 Sn?2(2n?1)ln3?5 2 导数与解析几何 3.（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8，则曲线 2y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 ( ) A.y?2x?1 B.y?x C.y?3x?2 D.y??2x?3答案 A 解析 由f(x)?2f(2?x)?x?8x?8得几何 2f(2?x)?2f(x)?(2?x)2?8(2?x)?8， 2即2f(x)?f(2?x)?x?4x?4，∴f(x)?x∴f(x)?2x，∴切线方程 2/y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0选A （2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 2y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A．4 B．?答案 A ( ) 11 C．2 D．? 42解析由已知g?(1)?2，而f?(x)?g?(x)?2x，所以f?(1)?g?(1)?2?1?4故选A 若曲线f?x??ax?Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 21。因为存在垂直于y轴x1?的切线，故此时斜率为0，问题转化为x?0范围内导函数f?x??2ax?存在零点。 x1解法1 （图像法）再将之转化为g?x???2ax与h?x??存在交点。当a?0不符合题 x意，当a?0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a?0如图2，此时正好有一个x解析 解析 由题意该函数的定义域x?0，由f??x2??a?交点，故有a?0应填???,0? 25