所以f(x)?g(x)。 （2）设G(x)?g(x)?kxk?x， G(x)在（0，??)恒大于0，G(x)?ln(1?x)?k?k2则k?x，
G'(x)?1k2x2?(2k?k2)x1?x?(k?x)2?(1?x)(k?x)2， x2?(2k?k2)x?0的根为0和k2?2k,
即在区间（0，??)上，G'(x)?0的根为0和k2?2k,
若k2?2k?0，则G(x)在(0,k2?2k)单调递减，
且G(0)?0，与G(x)在（0，??) 恒大于0矛盾； 若k2?2k?0，G(x)在（0，??)单调递增，
且G(0)?0，满足题设条件，所以k2?2k?0，所以0?k?2.。
（1）已知：x?(0??)，求证1x?x?1?ln1x?1x； （2）已知：n?N且n?2，求证：12?13???1n?lnn?1?112???n?1。（1）令1?1x?t，由x>0，∴t>1，x?1t?1
原不等式等价于1?1t?lnt?t?1
令f(t)=t-1-lnt，
∵f?(t)?1?1t当t?(1,??)时，有f?(t)?0，∴函数f(t)在t?(1,??)递增 ∴f(t)>f(1)
即t-1 另令g(t)?lnt?1?1，则有g?(t)?t?1tt2?0 ∴g(t)在(1,??)上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴lnt?1?1t 综上得 1xx?1?ln?1x?1x （2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得 6 11123n11 ?????ln?ln???ln?1????23n12n?12n?111111即得?????ln?1???? 23n2n?1 利用导数求和 例7．利用导数求和： （1）（2） ； 。 分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(x)'?nxnn?1，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更 加简捷。 解：（1）当x=1时， ； 当x≠1时， ， 两边都是关于x的函数，求导得 即 （2）∵ 两边都是关于x的函数，求导得令x=1得 ， 即 ， 。 。 7 单调区间讨论 例．设a?0，求函数f(x)?x?ln(x?a)(x?(0,??)的单调区间. 分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 11解：f?(x)??(x?0). 2xx?a22当a?0,x?0时 f?(x)?0?x?(2a?4)x?a?0. f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0 （i）当a?1时，对所有x?0，有x?(2a?4)?a?0. 即f?(x)?0，此时f(x)在(0,??)内单调递增. （ii）当a?1时，对x?1，有x?(2a?4)x?a?0， 即f?(x)?0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此， 函数f(x)在（0，+?）内单调递增 22（iii）当0?a?1时，令f?(x)?0，即x?(2a?4)x?a?0. 2222解得x?2?a?21?a,或x?2?a?21?a. 因此，函数f(x)在区间(0,2?a?21?a)内单调递增，在区间(2?a?21?a,??) 内也单调递增. 22令f?(x)?0,即x?(2a?4)x?a?0，解得2?a?21?a?x?2?a?21?a. （2?a-21?a,2?a?21?a)内单调递减. 因此，函数f(x)在区间 （2009安徽卷理） 已知函数f(x)?x?2?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性. x 8 2① 当??a?8?0，即a?22时， a?a2?8a?a2?8方程g(x)?0有两个不同的实根x1?,x2?,0?x1?x2. 22x f?(x) f(x) (0,x1) + 单调递增 x1 0 极大 (x1,x2) _ 单调递减 x2 0 极小 (x2,??) + 单调递增 a?a2?8a?a2?8a?a2?8,)是上单调递减, 此时f(x)在(0,)上单调递增, 在(222a?a2?8在(,??)上单调递增. 2 3.设函数f(x)?ax?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处 2ex的切线垂直于直线x?2y?1?0．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x)?，讨论g(x)f(x)的单调性． 9 （3）??4?4k?0,即当0 2x1?1?1?k,x2?1?1?kw.w.w..s.5.u.当 函 数 当 x?(??,1?1?k)是g?(x)?0,故g(x)在（??,1?1?k)上为增x?（1?1?k,1?1?k）1?1?k,1?1?k）时，g?(x)?0,故g(x)在（上为减函数 x?（1?1?k，+?）1?1?k，+?）时，g?(x)?0,故g(x)在（上为增函数 (2009山东卷文)已知函数f(x)?13ax?bx2?x?3,其中a?0（1）当a,b满足什么条件3时,f(x)取得极值?（2）已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2) 当a?0时, 10