x f’(x) f (x)
(-∞,x1) ＋ 增函数
x 1 0 极大值
(x1,x2) － 减函数
x2 0 极小值
(x2,+∞) ＋ 增函数
所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当a?0时,
x f’(x) f (x)
(-∞,x2) － 减函数
x 2 0 极小值
(x2,x1) ＋ 增函数
x1 0 极大值
2(x1,+∞) － 减函数
所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当a,b满足b?a时, f(x)取得极值.
(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x)?ax?2bx?1?0在(0,1]上恒成立.
2ax1ax1?,x?(0,1]恒成立, 所以b?(??)max 22x22x1a(x2?)ax1a1a, ?,g'(x)???2?设g(x)??222x22x2x即b??令g'(x)?0得x?11或x??(舍去), aa当a?1时,0?11ax1)时g'(x)?0,g(x)????1,当x?(0,单调增函数;
a22xa当x?(1ax1,1]时g'(x)?0,g(x)???单调减函数,
22xa11)??a. 时,g(x)取得最大,最大值为g(aa所以当x?所以b??a 当0?a?1时,
ax11在区?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)???22xa间(0,1]上单调递增,当x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??综上,当a?1时, b??a; 当0?a?1时, b??a?1a?1,所以b?? 22a?1 211
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. （2009浙江文）已知函数f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R)．
（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．
解析 （Ⅰ）由题意得f?(x)?3x?2(1?a)x?a(a?2) 又?232?f(0)?b?0?f?(0)??a(a?2)??3 ，解得b?0，a??3或a?1
（Ⅱ）函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于
导函数f?(x)在(?1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f?(x)在(?1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有
f?(?1)f?(1)?0， 即：[3?2(1?a)?a(a?2)][3?2(1?a)?a(a?2)]?0 整理得：(a?5)(a?1)(a?1)?0，解得?5?a??1 分离常数
已知函数f(x)?xlnx.（Ⅰ）求f(x)的最小值；（Ⅱ）若对所有x?1都有f(x)?ax?1，求实数a的取值范围.
解：f(x)的定义域为(0，+?)， f(x)的导数f?(x)?1?lnx. 令f?(x)?0，解得
学科网211?1??1?x?；令f?(x)?0，解得0?x?.从而f(x)在?0，?单调递减，在?，+??单调递
ee?e??e?11增.所以，当x?时，f(x)取得最小值?.
ee（Ⅱ）解法一：令g(x)?f(x)?(ax?1)，则g?(x)?f?(x)?a?1?a?lnx， 错误！未找到引用源。 若a?1，当x?1时，g?(x)?1?a?lnx?1?a?0，
，+?)上为增函数，故g(x)在(1所以，x?1时，g(x)?g(1)?1?a?0，即f(x)?ax?1.
学科网学科网学科网学科网错误！未找到引用源。 若a?1，方程g?(x)?0的根为 x0?ea?1，此时，若x?(1，x0)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数.所以x?(1，x0)时，g(x)?g(1)?1?a?0，即
1]. f(x)?ax?1，与题设f(x)?ax?1相矛盾. 综上，满足条件的a的取值范围是(??，学科网，??)上恒成立，解法二：依题意，得f(x)?ax?1在[1即不等式a?lnx?恒成立 . 令g(x)?lnx?1，??)对于x?[1x111?1?1， 则g?(x)??2??1??. 当x?1时，因为
xxx?x?xg?(x)?1?1??1???0， x?x?12
故g(x)是(1，??)上的增函数， 所以 g(x)的最小值是g(1)?1，所以a的取值范围是
(??，1].
[广东省海珠区2009届高三综合测试二理科数学第21题]（本小题满分14分） 已知f?x??xlnx,g?x??x?ax?x?2
32(Ⅰ)求函数f?x?的单调区间;
(Ⅱ)求函数f?x?在?t,t?2??t?0?上的最小值;
(Ⅲ)对一切的x??0,???,2f?x??g?x??2恒成立,求实数a的取值范围.
' (Ⅰ)f(x)?lnx?1,令f''?x??0,解得0?x?1,
e?1??f?x?的单调递减区间是?0,?;……2分
?e?1令f'?x??0,解得x?,
e?1??f?x?的单调递减区间是?,???.……4分
?e?1，t无解；……5分 e1111(ⅱ)0 eeee11(ⅲ)?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]单调递增， ee(Ⅱ)(ⅰ)0 f(x)min?f(t)?tlnt……9分 1?10?t??-e……10分 ?f(x)min?e，1?t??tlnte(Ⅲ)由题意:2xlnx?3x?2ax?1?2在x??0,???上恒成立 2即2xlnx?3x?2ax?1 231x?……11分（分离常数） 22x3x1?设h?x??lnx?, 22x?x?1??3x?1?……12分 131'??则h?x????x22x22x2可得a?lnx? 13 令h?x??0,得x?1,x??(舍) '13当0?x?1时,h?x??0;当x?1时, h?x??0 ''?当x?1时,h?x?取得最大值, h?x?max=-2……13分 ?a??2. 已知函数f(x)?lnx,g(x)?调区间； 学科网a（Ⅰ）求函数F(x)的单(a?0),设F(x)?f(x)?g(x)． x12， （Ⅱ）若以函数y?F(x)(x?(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k?恒成立，求实数a的最小值；解 析 ： （ I 学科网） F?x??f?x??g?x??lnx?a?x?0?xF'?x??1ax?a?2?2?x?0?∵a?0，由F'?x??0?x??a,???，∴F?x?在xxx∴F?x?在?0,a?上单调递减。∴F?x??a,???上单调递增。 由F'?x??0?x??0,a?，的单调递减区间为?0,a?，单调递增区间为?a,???。（II）F'?x??学科网x0?a1x?ak?F'x???0?x0?3?恒成立，0?x?3????022x02x学科网?12?（分离常数） ?x0??a???x02??max当x0?1时，?11121x0?x0取得最大值。∴a?，∴amin?2222学科网 设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围． 2学科网 14 则当x??0，因为对于任意的x??0，有f(x)?c3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c．3?， 2恒成立，所以 9?8c?c2，解得 c??1或c?9，因此c的取值范围为 (??，?1)(9，??)． 学科网18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。设函数f?x??x?3bx?3cx在两个极值点 32x1、x2，且x1?[?1，0],x2?[1,2].（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内， 画出满足这些条件的点?b,c?的区域；(II)证明：?10?f?x2???1 2分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能 2力。大部分考生有思路并能够得分。f??x??3x?6bx?3c由题意知 0],x2?[1,2].则有方程f??x??0有两个根x1、x2且x1?[?1，f??0??0，f???1??0，f??1??0，f???2?故有0 右图中阴影部分即是满足这些条件的点?b,c?的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标f?x2??x2?3bx2?3cx2中的b，（如果消 c会较 32繁琐）再利用x2的范围，并借助（I）中的约束条件得c?[?2,0]进而求解，有较强的技巧性。 解析 由题意有 f??x2??3x22?6bx2?3c?0．①又 ．．②（消元） f?x2??x23?3bx22?3cx2．消去b可得 13cf?x2???x32?x22．又2x2?[1,，2且]c?[?2 , 1??10?fx(2?)? 2 21．[浙江省富阳新中2008（上）高三期中考试数学（理科）试卷第22题] (本小题满分15分) 15