、已知函数．f(x)?2x?ax与g(x)?bx?cx的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．
(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程； (2)设F(x)?32mg(x)?ln(x?1)，其中m?0，求F(x)的单调区间． 8x33 解：(1)∵f(x)?2x?ax过点P(2,0),∴a=-8f(x)?2x?8x,
f?(x)?6x2?8x
∴切线的斜率k?f?(2)?16
∵g(x)?bx?cx的图像过点P(2,0),∴4b+2c=0,
∵g?(x)?2bx?c,f?(2)?g?(2)?4b?c?16,解得：b=8,c=-16 ∴g(x)?8x?16x
2216（x-2）切线方程为y＝．即16x-y-32=0
?2)?lnx(?(2) ∵ F(x)?m(x1)x?(
1mx?m?1?(x?1) x?1x?11m[x?(1?)]m∵m<0 ∴1?1?1 当m<0时，F?(x)?mx?111 又x>1 当x?(1,1?)时F?(x)?0 当x?(1?,??)时F?(x)?0
mm1 ∴F(x)的单调减区间是(1?,??)
m1 ∴F(x)的单调增区间是(1，1?)
m11 即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，1?)，单调减区间是(1?，??) 。
mm122．已知函数f(x)=1n x，g(x)=x?a(a为常数)，若直线l与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切，且l
2F?(x)?m?与y=f(x)的图象相切于定点P（1，f（1））． （1）求直线l的方程及a 的值；
（2）当k∈R时，讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数．
31
解：（1）∵f′(x)=
1，∴f（1）=1 ∴k1=1,又切点为P（1，f（1），即（1，0） x∴l的解析式为y=x-1，
y=x-1 ∵l与y=g(x)相切，由 ,消去y得x2-2x+2a+2=0
12x?a 21∴△=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-
2121（2）令h（x）=f(x2+1)-g(x)=1n(x2+1)?x?
222xx(x?1)(x?1)∵h′(x)=-x=-，则x??1或0?x?1时，h?(x)?0,h(x)为增函数，
1?x21?x2
y=
-1＜x＜0或x＞1时，h?(x)?0.h(x)为减函数.
故x=±1时，h（x）取极大值1n2， x=0时，h（x）取极小值
1。 21＜k＜1n2时，2因此当 k∈（1n2，+∞），原方程无解；当k=1n2时，原方程有两解；当原方程有四解；当k=
11时，原方程有三解；当k＜时，原方程有两解 22113]内各有一个极值点． ，，(1，已知函数f(x)?x3?ax2?bx在区间[?11)32（I）求a2?4b的最大值；
（II）当a2?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．
113]内分别有一个极值点，，，(1，解：（I）因为函数f(x)?x3?ax2?bx在区间[?11)323]内分别有一个实根， ，，(1，所以f?(x)?x2?ax?b?0在[?11)设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是
x2?3，即a??2，b??3时等0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，且当x1??1，号成立．故a2?4b的最大值是16．
（II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是
32
21y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x??a，
32因为切线l在点A(1，f(x))处空过y?f(x)的图象，
21所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]在x?1两边附近的函数值异号，则
32x?1不是g(x)的极值点．
1121而g(x)?x3?ax2?bx?(1?a?b)x??a，且
3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．
若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．
1所以1??1?a，即a??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?x3?x2?x．
321解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]
3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m1?1?m2）． 当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0．
3a??3a??设h(x)?x2??1??x??2??，则
2??2??当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?3a?0， 21所以a??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?x3?x2?x．
3
导数与不等式综合
已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有f(x)?0，则
33
f(1)的最小值为（ C ） f'(0)A．3 B．5 C．2 D．3
22设二次函数f(x)?x2?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1． （I）求实数a的取值范围； （II）试比较f(0)f(1)?f(0)与
1的大小．并说明理由． 16本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?x2?(a?1)x?a，
???0，?1?a?a?0，??1，??0??0?a?3?22． 则由题意可得????1?a?1，2?g(1)?0，??a?3?22，或a?3?22，???g(0)?0，3?22)． 故所求实数a的取值范围是(0，（II）f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，令h(a)?2a2．
当a?0时，h(a)单调增加，?当0?a?3?22时，
0?h(a?)h(?32?2)2?2(3?2 ?2)2(17122)?2111?，即f(0)f(1)?f(0)?．
1617?12216解法2：（I）同解法1． （II）
f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，由（I）知0?a?3?22，
∴42a?1?122?17?0．又42a?1?0，于是
111?(32a2?1)?(42a?1)(42a?1)?0， 16161611即2a2??0，故f(0)f(1)?f(0)?．
16162a2?解法3：（I）方程f(x)?x?0?x2?(a?1)x?a?0，由韦达定理得
34
???0，?x?x?0，12??x1?x2?1?a，x1x2?a，于是0?x1?x2?1??x1x2?0，
??(1?x1)?(1?x2)?0，??(1?x1)(1?x2)?0?a?0??，?a?1，?0?a?3?22． ??a?3?22或a?3?22故所求实数a的取值范围是(0，3?22)． （II）依题意可设g(x)?(x?x1)(x?x2)，则由0?x1?x2?1，得
f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?x1x2(1?x1)(1?x2)?[x1(1?x1)][x2(1?x2)]
?x?1?x22??11??x2?1?x2?11?2????2???16，故f(0)f(1)?f(0)?16．
已知函数f(x)?lnx
（Ⅰ）求函数g(x)?f(x?1)?x的最大值； （Ⅱ）当0?a?b时，求证:f(b)?f(a)?2a(b?a)a2?b2
（Ⅰ）解：?f(x)?lnx,g(x)?f(x?1)?x
?g(x)?ln(x?1)?x(x??1) g?(x)?1x?1?1,令g?(x)?0,得x?0 当?1?x?0时，g?(x)?0 当x?0时g?(x)?0，又g(0)?0
当且仅当x?0时，g(x)取得最大值0
（Ⅱ）证明： f(b)?f(a)?lnb?lna?lnba??lnaa?bb??ln(1?b) 由（1）知ln(1?x)?xf(b)?f(a)??a?bb?ab?b
又
0?a?b,?a2?b2?2ab
?1b?2ab?a2b(b?a)a2?b2?b?a2?b2 ?f(b)?f(a)?2a(b?a)a2?b2
35
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