设函数f(x)?x?bln(x?1)，其中b?0； （Ⅰ）若b??12，求f(x)在[1,3]的最小值；
（Ⅱ）如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围； （Ⅲ）是否存在最小的正整数N，使得当n?N时，不等式ln立.
21．[浙江省富阳新中2008（上）高三期中考试数学（理科）试卷第22题] 解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(?1,??)，
2n?1n?1?3恒成nn122x2?2x?12??0，得x?2（x??3舍去）， b??12时，由f(x)?2x?x?1x?1/当x?[1,2)时，f(x)?0，当x?(2,3]时，f(x)?0，
所以当x?[1,2)时，f(x)单调递减；当x?(2,3]时，f(x)单调递增， 所以f(x)min?f(2)?4?12ln3 ……………………………5分
//b2x2?2x?b??0在(?1,??)有两个不等实根， （Ⅱ）由题意f(x)?2x?x?1x?1/即2x?2x?b?0在(?1,??)有两个不等实根， 设g(x)?2x?2x?b，则?22???4?8b?01，解之得0?b?；…………10分
2?g(?1)?02（Ⅲ）当b=-1时,函数f?x??x?ln(x?1)， 令函数h?x??x?f(x)?x?x?ln(x?1)
332则
13x3?(x?1)2h?x??3x?2x??x?1x?1/2，
?当x?[0,??)时，h/?x??0（换元，令1?x) n所以函数h?x?在[0,??)上单调递增，又h(0)?0,?x?(0,??)时，恒有h?x??h(0)?0 即x?x?ln(x?1)恒成立.取x?显然，存在最小的正整数N=1，
231111?(0,??)，则有ln(?1)?2?3恒成立. nnnn 16
使得当n?N时，不等式ln(111?1)?2?3恒成立. ……………15分 nnn（天津文 21）
设函数f(x)??x(x?a)2（x?R），其中a?R．
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
T（Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a?3时，证明存在k???1，使得不等式f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对0?，任意的x?R恒成立．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)??x(x?1)2??x3?2x2?x，得f(2)??2，且
f?(x)??3x2?4x?1，f?(2)??5．
所以，曲线y??x(x?1)2在点(2，?2)处的切线方程是y?2??5(x?2)，整理得
5x?y?8?0．
（Ⅱ）解：f(x)??x(x?a)2??x3?2ax2?a2x
f?(x)??3x2?4ax?a2??(3x?a)(x?a)．
令f?(x)?0，解得x?a或x?a． 3由于a?0，以下分两种情况讨论．
（1）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x a???∞，?? 3??a 3?a??，a? ?3?a (a，∞?) f?(x) ? 0 a处取得极小值3? ?a?
f??，且 ?3?
0 ? 因此，函数f(x)在x? 17
4?a?f????a3；
27?3?函数f(x)在x?a处取得极大值f(a)，且
f(a)?0．
（2）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x ??∞，a? ? a ?a??a，? ?3?a 3?a??∞? ?，?3?f?(x) 0 ? 0 ? 因此，函数f(x)在x?a处取得极小值f(a)，且
f(a)?0；
函数f(x)在x?a处取得极大值3?a?
f??，且 ?3?
4?a?f????a3．
27?3?（Ⅲ）证明：由a?3，得
a?1，当k???1，0?时， 3k?cosx≤1，k2?cos2x≤1．
由（Ⅱ）知，f(x)在??∞，要使f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)，x?R 1?上是减函数，只要k?cosx≤k2?cos2x(x?R) 即
cos2x?cosx≤k2?k(x?R) ①
1?1?设g(x)?cos2x?cosx??cosx???，则函数g(x)在R上的最大值为2．
2?4?要使①式恒成立，必须k2?k≥2，即k≥2或k≤?1．
所以，在区间??1，0?上存在k??1，使得f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对任意的
2 18
x?R恒成立．
求取值范围
（2009江西卷文）设函数f(x)?x?392x?6x?a．（1）对于任意实数x，f?(x)?m恒2成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
'2解析 (1) f(x)?3x?9x?6?3(x?1)(x?2), 因为x?(??,??),f(x)?m, 即
'33x2?9x?(6?m)?0恒成立, 所以 ??81?12(6?m)?0, 得m??，即m的最大值
43为?
4 (2) 因为 当x?1时, f(x)?0;当1?x?2时, f(x)?0;当x?2时, f(x)?0; 所以 当x?1时,f(x)取极大值 f(1)?'''5?a;2 当x?2时,f(x)取极小值
f(2)?2?a;
故当f(2)?0 或f(1)?0时, 方程f(x)?0仅有一个实根. 解得 a?2或a?.（2009天津卷文）设函数f(x)??5. 213x?x2?(m2?1)x,(x?R,)其中m?0（Ⅰ）当3m?1时，，f（1））曲线y?f(x)在点（1处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；x1,x2，（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，且x1?x2。若对任意的x?[x1,x2]，
f(x)?f(1)恒成立，求m的取值范围。
解析 当m?1时，f(x)?13x?x2,f/(x)?x2?2x,故f'(1)?1所以曲线3y?f(x)在点（1，f（1））处的切线斜率为1
'22（2）解析f(x)??x?2x?m?1，令f(x)?0，得到x?1?m,x?1?m
'因为m?0,所以1?m?1?m 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：
'x
f'(x)
(??,1?m)
+
1?m
0 极小值
(1?m,1?m)
-
1?m
0 极大值
(1?m,??)
+
f(x)
19
f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。
231m?m2? 332312函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且f(1?m)=?m?m?
331212（3）解析 由题设， f(x)?x(?x?x?m?1)??x(x?x1)(x?x2)
33122所以方程?x?x?m?1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1?x2?3，且
3411??1?(m2?1)?0，解得m??(舍)，m?
3223因为x1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2??1
21若x1?1?x2,则f(1)??(1?x1)(1?x2)?0，而f(x1)?0，不合题意
3函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)，且f(1?m)=若1?x1?x2,则对任意的x?[x1,x2]有x?x1?0,x?x2?0, 则f(x)???1所以函数f(x)在x?[x1,x2]的最x(x?x1)(x?x2)?0又f(x1)?0，
3小值为0，于是对任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立的充要条件是
f(1)?m2?331?m??0,解得? 333综上，m的取值范围是(,123) 332232009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）已知函数f(x)?x?3ax?9ax?a.设a?1，求函数f?x?的极值；(2)若a?取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
1'，且当x??1,4a?时，f(x)?12a恒成立，试确定a的4（21）解析（Ⅰ）当a=1时，对函数f(x)求导数，得f(x)?3x?6x?9.
'2'' 令 f(x)?0,解得x1??1,x2?3.列表讨论f(x),f(x)的变化情况：
x
f'(x)
(??,?1)
+
?1
0
（-1，3）
—
3 0
(3,??)
+
20