或是?a|a?0?。
.(2009陕西卷理)设曲线y?x令an?lgxn，则a1?a2?答案 -2
n?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,
?a99的值为 .
解析：点（1，1）在函数y?xn?1(n?N*)的图像上，?（1，1）为切点，y?xn?1的导函数为y'?(n?1)xn?y'|x?1?n?1?切线是：y?1?(n?1)(x?1)令y=0得切点的横坐标：xn?nn?11298991a1?a2?...?a99?lgx1x2...x99?lg...?lg??2239910010032
19.（2009浙江文）已知函数f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R)．
（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．
2解析 （Ⅰ）由题意得f?(x)?3x?2(1?a)x?a(a?2)
又??f(0)?b?0?f?(0)??a(a?2)??3 ，解得b?0，a??3或a?1
（Ⅱ）函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于
导函数f?(x)在(?1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f?(x)在(?1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有
f?(?1)f?(1)?0， 即：[3?2(1?a)?a(a?2)][3?2(1?a)?a(a?2)]?0 整理得：(a?5)(a?1)(a?1)?0，解得?5?a??1 零点 (07广东)
已知a是实数，函数f?x??2ax?2x?3?a，如果函数y?f?x?在区间??1,1?上有零点，
22求a的取值范围.
解：若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在??1,1?上没有零点, 所以 a?0. 令 ??4?8a?3?a??8a?24a?4?0, 解得 a?2?3?7 2 ①当 a??3?7时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; 226
②当f??1??f?1???a?1??a?5??0，即1?a?5时，y?f?x?在
??1,1?上也恰有一个零点.
③当y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则
a?0a?0?????8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a??3?5 2?3?5 . 2综上所求实数a的取值范围是 a?1 或 a?3 若函数f(x)?ax?bx?4，当x?2时，函数f(x)有极值?4， 3（1）求函数的解析式；（2）若函数f(x)?k有3个解，求实数k的取值范围．
（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数f(x)?13x?ax2?bx,且f'(?1)?0 (1) 3试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；（2）令a??1,设函数f(x)在
x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)), x1?m?x2,
请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m ?(x1, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n)), x ?n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程） 解法一:(Ⅰ)依题意,得f'(x)?x2?2ax?b由f'(?1)?1?2a?b?0得b?2a?1.
1从而f(x)?x3?ax2?(2a?1)x,故f'(x)?(x?1)(x?2a?1).令f'(x)?0,得x??1或x?1?2a.3
①当a>1时, 1?2a??1当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：
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x
(??,1?2a)
+ 单调递增
(1?2a,?1)
－ 单调递减
(?1,??)
+ 单调递增
f'(x) f(x)
由此得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)。 ②当a?1时，1?2a??1此时有f'(x)?0恒成立，且仅在x??1处f'(x)?0，故函数
f(x)的单调增区间为R
③当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，1?2a??1同理可得，单调减区间为(?1,1?2a)
综上：当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为
(1?2a,?1)；
当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R；
当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为
(?1,1?2a).
(Ⅱ)由a??1得f(x)?132x?x?3x令f(x)?x2?2x?3?0得x1??1,x2?3 3由（1）得f(x)增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数f(x)在处x1??1,x2?3取得极值，故M（?1,5）N（3,?9）。观察f(x)的图象，有如下现象：3①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f'(m)的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－f'(m)的m正负有着密切的关联； ③Kmp－f'(m)=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－f'(m)的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线f(x)在点P(m,f(m))处的切线斜率
f'(m)?m2?2m?3；
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m2?4m?5线段MP的斜率Kmp?当Kmp－f'(m)=0时，解得m??1或m?2
3直线
MP
的方程为
m2?4m?5m2?4my?(x?)33令
m2?4m?5m2?4mg(x)?f(x)?(x?)
33当m?2时，g'(x)?x?2x在(?1,2)上只有一个零点x?0，可判断f(x)函数在
2(?1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又g(?1)?g(2)?0，所以g(x)在(?1,2)上
没有零点，即线段MP与曲线f(x)没有异于M，P的公共点。当m??2,3?时，
m2?4mg(0)???0.g(2)??(m?2)2?0所以存在m??0,2?使得g(?)?0即当
3m??2,3?时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为?1,3? 解法二：
（1）同解法一.
（2）由a??1得f(x)??13x?x2?3x，令f'(x)?x2?2x?3?0，得x1??1,x2?33由（1）得的f(x)单调增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数在处取得极值。故M(?1,5).N(3,?9) 3?m2?4m?5m2?4my?x??m2?4m?5m2?4m?33 (Ⅰ) 直线MP的方程为y? x?.由?331?y?x3?x2?3x?3?得x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m?0线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数g(x)?x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m在(-1,m)上有零点.因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.又g(?1)?g(m)?0.因此,
g(x)在(?1,m)上有零点等价于g(x)在(?1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点,即g'(x)?3x2?6x?(m2?4m?4)?0在(1,m)内有两不相等的实数根.
29
??＝36?12（m2?4m?4）＞0??1?m?5?223(?1)?6?(m?4m?4)?0??等价于? 即?m?2或m??1,解得2?m?5
22?m?1?3m?6m?(m?4m?4)?0??m?1?又因为?1?m?3,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2. 已知函数f(x)?x?x．（1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；
（2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)． 解：（1）求函数f(x)的导数；f?(x)?3x?1．
曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为：y?(3t?1)x?2t．
232323（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b?(3t?1)a?2t． 于是，若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线， 则方程2t?3at?a?b?0，有三个相异的实数根． 记 g(t)?2t?3at?a?b，则
3232g?(t)?6t2?6at?6t(t?a)．
当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：
t g?(t) (??，0) 0 0 (0，a) ? a 0 (a，??) ? ? 增 极大值a?b 减 极小值b?f(a) 增 g(t) 由g(t)的单调性，当极大值a?b?0或极小值b?f(a)?0时，方程g(t)?0最多有一个实数根；
3a，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根； 2a当b?f(a)?0时，解方程g(t)?0得t??，t?a，即方程g(t)?0只有两个相异的实
2当a?b?0时，解方程g(t)?0得t?0，t?数根．综上，如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，即g(t)?0有三个相异的实数根，
则??a?b?0， 即
b?f(a)?0.??a?b?f(a)．
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