点评： 本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，梯形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理和计算，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 14．（2013?遂宁）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）求证：△ACM∽△DCN； （3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．
考点： 专题： 分析： 圆的综合题． 压轴题． （1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案； （2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出
即可； （3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可． （1）证明：∵△BCO中，BO=CO， ∴∠B=∠BCO， 在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BCO=90°， 即∠FCO=90°， ∴CF是⊙O的切线； （2）证明：∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO， 即∠3=∠1， ∴∠3=∠2， ∵∠4=∠D， ∴△ACM∽△DCN； （3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4， 在Rt△COE中，cos∠BOC=， ∴OE=CO?cos∠BOC=4×=1， 由此可得：BE=3，AE=5，
解答：
由勾股定理可得： CE===， AC===2BC=， ==2， ∵AB是⊙O直径，AB⊥CD， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2， ∵△ACM∽△DCN， ∴=， ∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2， ∴CN==， ∴BN=BC﹣CN=2﹣=． =
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△ACM∽△DCN是解题关键． 15．（2013?三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4． （1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由； （2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求
的长；
（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范
围． 考点： 专题： 分析： 圆的综合题． 压轴题． （1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．利用圆周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD； （2）由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线，则PC∥DO，所以根据平行
线的性质、切线的性质易求弧AP所对的圆心角∠ACP=90°； （3）分类讨论：点E落在线段OA和线段OB上，这两种情况下的y与x的关系式．这两种情况都是根据相似三角形（△APO∽△AED）的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式的． 解：（1）AP=PD．理由如下： 如图①，连接OP． ∵OA是半圆C的直径， ∴∠APO=90°，即OP⊥AD． 又∵OA=OD， ∴AP=PD； 解答： （2）如图①，连接PC、OD． ∵OD是半圆C的切线， ∴∠AOD=90°． 由（1）知，AP=PD． 又∵AC=OC， ∴PC∥OD， ∴∠ACP=∠AOD=90°， ∴的长